Persamaan elips dengan fokus (1,3) dan (8,3) dan sumbu

((x - 4.5)^2 / 25) + ((y - 3)^2 / 12.75) = 1

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan elips, kita perlu mengidentifikasi pusat elips, panjang sumbu mayor, dan jarak fokus.

Fokus elips diberikan sebagai F1(1, 3) dan F2(8, 3).

1. Tentukan Pusat Elips (h, k):
Pusat elips adalah titik tengah antara kedua fokus.
h = (x1 + x2) / 2 = (1 + 8) / 2 = 9 / 2 = 4.5
k = (y1 + y2) / 2 = (3 + 3) / 2 = 6 / 2 = 3
Pusat elips adalah (4.5, 3).

2. Tentukan Jarak antara Fokus (2c):
Jarak antara kedua fokus adalah:
2c = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
2c = sqrt((8 - 1)^2 + (3 - 3)^2)
2c = sqrt(7^2 + 0^2)
2c = sqrt(49)
2c = 7
Maka, c = 7/2 = 3.5

3. Tentukan Panjang Sumbu Panjang (2a):
Panjang sumbu panjang diberikan sebagai 10.
Maka, 2a = 10, sehingga a = 5.

4. Tentukan Panjang Sumbu Pendek (2b):
Dalam elips, berlaku hubungan a^2 = b^2 + c^2.
Kita punya a = 5 dan c = 3.5.
5^2 = b^2 + (3.5)^2
25 = b^2 + 12.25
b^2 = 25 - 12.25
b^2 = 12.75

5. Tentukan Persamaan Elips:
Karena fokus berada pada garis horizontal (y=3), sumbu panjangnya horizontal.
Persamaan standar elips dengan sumbu horizontal berpusat di (h, k) adalah:
((x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1

Substitusikan nilai h = 4.5, k = 3, a^2 = 5^2 = 25, dan b^2 = 12.75:
((x - 4.5)^2 / 25) + ((y - 3)^2 / 12.75) = 1

Kita bisa menulis 4.5 sebagai 9/2:
((x - 9/2)^2 / 25) + ((y - 3)^2 / 12.75) = 1

Atau, jika kita ingin menggunakan bentuk desimal untuk b^2:
((x - 4.5)^2 / 25) + ((y - 3)^2 / 12.75) = 1

Untuk memberikan jawaban yang lebih umum atau sesuai dengan pilihan ganda jika ada, kita bisa mengalikan dengan penyebutnya. Namun, bentuk standar di atas sudah merupakan persamaan elips.