Persamaan garis di bawah yang tegak lurus dengan garis yang

Pilihan D: $5x - 3y - 42 = 0$ (dengan asumsi kekeliruan pada konstanta)

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis yang melalui titik $P(-3, 8)$ dan $Q(2, 5)$, kita perlu mencari gradien garis PQ terlebih dahulu, kemudian mencari gradien garis yang tegak lurus dengannya, dan terakhir menggunakan salah satu titik (misalnya P atau Q) untuk menemukan persamaan garisnya.\n\n1. Cari gradien garis PQ ($m_{PQ}$):\n$m_{PQ} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 8}{2 - (-3)} = \frac{-3}{2 + 3} = \frac{-3}{5}$.\n\n2. Cari gradien garis yang tegak lurus dengan garis PQ ($m_{\perp}$):\nDua garis dikatakan tegak lurus jika hasil kali gradiennya adalah -1. Jadi, $m_{PQ} \times m_{\perp} = -1$.\n$\frac{-3}{5} \times m_{\perp} = -1$\n$m_{\perp} = \frac{-1}{-3/5} = \frac{5}{3}$.\n\n3. Cari persamaan garis yang melalui salah satu titik dengan gradien $m_{\perp} = \frac{5}{3}$. Kita bisa menggunakan titik $P(-3, 8)$. Gunakan rumus $y - y_1 = m(x - x_1)$: \n$y - 8 = \frac{5}{3}(x - (-3))$\n$y - 8 = \frac{5}{3}(x + 3)$\nKalikan kedua sisi dengan 3 untuk menghilangkan pecahan:\n$3(y - 8) = 5(x + 3)$\n$3y - 24 = 5x + 15$\nPindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan bentuk umum persamaan garis:\n$0 = 5x - 3y + 15 + 24$\n$0 = 5x - 3y + 39$.\n\nSekarang kita periksa pilihan jawaban yang diberikan:\nA. $3x - 5y - 14 = 0$ (Gradien = 3/5)\nB. $3x + 5y + 14 = 0$ (Gradien = -3/5)\nC. $5x + 3y - 42 = 0$ (Gradien = -5/3)\nD. $5x - 3y - 42 = 0$ (Gradien = 5/3)\n\nPersamaan yang kita dapatkan adalah $5x - 3y + 39 = 0$. Tidak ada pilihan yang persis sama. Mari kita periksa kembali perhitungan atau kemungkinan ada kesalahan pada pilihan jawaban atau soal. Namun, berdasarkan gradien yang kita cari ($m_{\perp} = 5/3$), kita mencari persamaan dengan bentuk $5x - 3y + C = 0$.\n\nMari kita coba gunakan titik Q(2, 5) dengan gradien $m_{\perp} = 5/3$: \n$y - 5 = \frac{5}{3}(x - 2)$\n$3(y - 5) = 5(x - 2)$\n$3y - 15 = 5x - 10$\n$0 = 5x - 3y - 10 + 15$\n$0 = 5x - 3y + 5$.\n\nMasih belum cocok dengan pilihan. Mari kita periksa kembali gradien garis PQ. $m_{PQ} = (5-8)/(2-(-3)) = -3/5$. Gradien tegak lurus adalah $5/3$.\n\nSekarang kita lihat kembali pilihan jawaban dan gradiennya.\nPilihan A: $3x - 5y - 14 = 0 
ightarrow m = 3/5$.\nPilihan B: $3x + 5y + 14 = 0 
ightarrow m = -3/5$.\nPilihan C: $5x + 3y - 42 = 0 
ightarrow m = -5/3$.\nPilihan D: $5x - 3y - 42 = 0 
ightarrow m = 5/3$.\n\nJadi, pilihan D memiliki gradien yang benar ($5/3$). Mari kita cek apakah titik P atau Q memenuhi persamaan D.\nUntuk P(-3, 8): $5(-3) - 3(8) - 42 = -15 - 24 - 42 = -39 - 42 = -81 \neq 0$.\nUntuk Q(2, 5): $5(2) - 3(5) - 42 = 10 - 15 - 42 = -5 - 42 = -47 \neq 0$.\n\nAda kemungkinan kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban. Namun, jika kita diminta mencari persamaan yang tegak lurus dengan garis PQ, gradiennya harus $5/3$. Dari pilihan yang ada, hanya pilihan D yang memiliki gradien $5/3$.\n\nJika kita mengasumsikan ada kesalahan pengetikan pada koordinat atau pilihan jawaban, dan kita harus memilih jawaban yang paling logis berdasarkan gradien, maka Pilihan D adalah yang paling mungkin jika konstanta C berbeda.\n\nNamun, jika kita harus sangat ketat, tidak ada jawaban yang benar. Mari kita asumsikan ada kesalahan pengetikan pada soal dan gradiennya yang benar, kita akan mencari persamaan yang sesuai dengan gradien 5/3. \nKita telah mendapatkan $5x - 3y + 39 = 0$ menggunakan titik P, dan $5x - 3y + 5 = 0$ menggunakan titik Q. Tidak ada yang cocok dengan pilihan D ($5x - 3y - 42 = 0$).\n\nMari kita periksa soal asli lagi. Jika garis melalui P(-3, 8) dan Q(2, 5) adalah garis acuan, gradiennya adalah -3/5. Gradien garis yang tegak lurus adalah 5/3. Persamaan garis yang tegak lurus harus memiliki bentuk $5x - 3y + C = 0$.\n\nMari kita cek ulang perhitungan. $m_{PQ} = (5-8)/(2-(-3)) = -3/5$. $m_{\perp} = 5/3$.\nPersamaan garis: $y - y_1 = m(x - x_1)$.\nMenggunakan P(-3, 8): $y - 8 = 5/3(x - (-3)) 
ightarrow 3y - 24 = 5x + 15 
ightarrow 5x - 3y + 39 = 0$.\nMenggunakan Q(2, 5): $y - 5 = 5/3(x - 2) 
ightarrow 3y - 15 = 5x - 10 
ightarrow 5x - 3y - 5 = 0$. (Ada kesalahan perhitungan sebelumnya di sini, seharusnya +5).\n\nJadi, persamaan yang benar adalah $5x - 3y + 39 = 0$ atau $5x - 3y - 5 = 0$. Tidak ada yang cocok dengan pilihan D ($5x - 3y - 42 = 0$).\n\nNamun, jika kita harus memilih yang paling mendekati atau ada kesalahan pada konstanta di soal, pilihan D adalah satu-satunya yang memiliki gradien yang benar.\n\nKarena tidak ada jawaban yang tepat, mari kita pilih jawaban yang memiliki gradien yang benar, yaitu $5/3$, yaitu pilihan D.\nAsumsikan ada kesalahan pada konstanta pada pilihan D.\nJawaban yang benar secara matematis seharusnya memiliki gradien $5/3$. Pilihan D adalah $5x - 3y - 42 = 0$. Gradiennya adalah $5/3$.\nKita harus berasumsi bahwa soal atau pilihan jawaban memiliki kekeliruan. Jika kita harus memilih, kita pilih yang gradiennya benar.