Persamaan garis singgung di titik (4,-2) pada lingkaran

$2x - 5y = 18$

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-4x-6y-16=0$ di titik $(4,-2)$, kita perlu mencari pusat dan jari-jari lingkaran terlebih dahulu.

Persamaan umum lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a,b)$ adalah pusat dan $r$ adalah jari-jari. Bentuk umum yang diberikan adalah $x^2+y^2-4x-6y-16=0$.

Untuk mengubahnya ke bentuk standar, kita lengkapi kuadrat:
$(x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) = 16$
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 16 + 4 + 9$
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 29$

Dari sini, kita dapatkan pusat lingkaran adalah $(a,b) = (2,3)$ dan jari-jari $r = \sqrt{29}$.

Titik singgung yang diberikan adalah $(x_1, y_1) = (4,-2)$.

Persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$.

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:
$(4-2)(x-2) + (-2-3)(y-3) = 29$
$2(x-2) + (-5)(y-3) = 29$
$2x - 4 - 5y + 15 = 29$
$2x - 5y + 11 = 29$
$2x - 5y = 29 - 11$
$2x - 5y = 18$.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $2x - 5y = 18$.