Suatu bangun dibatasi oleh kurva y^2=x-4 , garis y=1, y=-2

Volume benda putar adalah $\frac{393\pi}{5}$ unit kubik.

Pembahasan

Untuk mencari volume benda putar yang terbentuk dari pemutaran bangun di sekeliling sumbu Y, kita perlu mengintegrasikan luas penampang tegak lurus sumbu putar. Bangun dibatasi oleh kurva $x = y^2 + 4$, garis $y=1$, $y=-2$, dan sumbu Y ($x=0$).\n\nMenggunakan metode cakram/cincin, volume V dihitung dengan integral:\n$V = \int_{a}^{b} \pi [R(y)]^2 dy$\nDalam kasus ini, jari-jari cakram adalah $R(y) = x = y^2 + 4$, dan batas integrasi adalah dari $y=-2$ hingga $y=1$.\n$V = \int_{-2}^{1} \pi (y^2 + 4)^2 dy$
$V = \pi \int_{-2}^{1} (y^4 + 8y^2 + 16) dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^5}{5} + \frac{8y^3}{3} + 16y \right]_{-2}^{1}$
$V = \pi \left[ \left( \frac{1^5}{5} + \frac{8(1)^3}{3} + 16(1) \right) - \left( \frac{(-2)^5}{5} + \frac{8(-2)^3}{3} + 16(-2) \right) \right]$
$V = \pi \left[ \left( \frac{1}{5} + \frac{8}{3} + 16 \right) - \left( \frac{-32}{5} + \frac{-64}{3} - 32 \right) \right]$
$V = \pi \left[ \frac{1}{5} + \frac{8}{3} + 16 + \frac{32}{5} + \frac{64}{3} + 32 \right]$
$V = \pi \left[ \left( \frac{1}{5} + \frac{32}{5} \right) + \left( \frac{8}{3} + \frac{64}{3} \right) + (16 + 32) \right]$
$V = \pi \left[ \frac{33}{5} + \frac{72}{3} + 48 \right]$
$V = \pi \left[ \frac{33}{5} + 24 + 48 \right]$
$V = \pi \left[ \frac{33}{5} + 72 \right]$
$V = \pi \left[ \frac{33 + 360}{5} \right]$
$V = \frac{393\pi}{5}$ unit kubik.