Persamaan garis singgung lingkaran (x-4)^2+(y+3)^2=40 yang

Persamaan garis singgungnya adalah $3x - y + 5 = 0$ dan $3x - y - 35 = 0$.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 40$ yang tegak lurus dengan garis $x + 3y + 5 = 0$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan gradien garis yang diberikan:**
    Garis $x + 3y + 5 = 0$ dapat ditulis ulang dalam bentuk $y = mx + c$ untuk mencari gradiennya.
    $3y = -x - 5$
    $y = -rac{1}{3}x - rac{5}{3}$
    Jadi, gradien garis ini ($m_1$) adalah $-rac{1}{3}$.

2.  **Tentukan gradien garis singgung:**
    Garis singgung lingkaran harus tegak lurus dengan garis yang diberikan. Jika dua garis tegak lurus, hasil perkalian gradiennya adalah -1 ($m_1 	imes m_2 = -1$).
    $(-rac{1}{3}) 	imes m_2 = -1$
    $m_2 = -1 / (-rac{1}{3})$
    $m_2 = 3$
    Jadi, gradien garis singgung ($m_{garis singgung}$) adalah 3.

3.  **Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran:**
    Persamaan lingkaran $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 40$ berbentuk $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a, b)$ adalah pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jarinya.
    Pusat lingkaran $(a, b) = (4, -3)$.
    $r^2 = 40$, sehingga $r = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

4.  **Gunakan rumus persamaan garis singgung lingkaran:**
    Persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ dengan gradien $m$ adalah:
    $y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$
    Substitusikan nilai-nilai yang kita miliki:
    $a = 4$, $b = -3$, $r = 2\sqrt{10}$, $m = 3$.

    $y - (-3) = 3(x - 4) e 
    $y + 3 = 3(x - 4) e 
    $y + 3 = 3x - 12 e 
    $y = 3x - 12 - 3 e 
    $y = 3x - 15 e 

    Sekarang, substitusikan nilai $r$ dan $m$ ke dalam $\pm r\sqrt{1 + m^2}$:
    $\pm 2\sqrt{10} \sqrt{1 + 3^2}$
    $\pm 2\sqrt{10} \sqrt{1 + 9}$
    $\pm 2\sqrt{10} \sqrt{10}$
    $\pm 2(10)$
    $\pm 20$

    Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
    $y + 3 = 3(x - 4) \pm 20$

    Kita akan mendapatkan dua kemungkinan persamaan garis singgung:
    a) $y + 3 = 3x - 12 + 20$
       $y + 3 = 3x + 8$
       $y = 3x + 5$

    b) $y + 3 = 3x - 12 - 20$
       $y + 3 = 3x - 32$
       $y = 3x - 35$

    Kita bisa menulis ulang persamaan ini dalam bentuk $Ax + By + C = 0$:
    a) $3x - y + 5 = 0$
    b) $3x - y - 35 = 0$

    Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis $x + 3y + 5 = 0$ adalah $3x - y + 5 = 0$ dan $3x - y - 35 = 0$.