Persamaan garis singgung melalui titik P(4,-2) pada

Persamaan garis singgungnya adalah x = 4 dan 3x - 4y = 20.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran. Namun, titik P(4,-2) yang diberikan berada di luar lingkaran x^2 + y^2 = 16, bukan pada lingkaran tersebut, karena jika kita substitusikan P(4,-2) ke persamaan lingkaran: (4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20. Nilai 20 tidak sama dengan 16.

Jika titik tersebut seharusnya berada pada lingkaran, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan $x^2 + y^2 = 16$.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal ini adalah tentang mencari persamaan garis singgung yang *melalui* titik P(4,-2) ke lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ (artinya P adalah titik di luar lingkaran dari mana garis singgung ditarik), maka prosesnya akan melibatkan beberapa langkah:

1. **Menentukan titik singgung (x1, y1) pada lingkaran.** Misalkan titik singgungnya adalah (x1, y1). Maka berlaku:
   a. $x_1^2 + y_1^2 = 16$ (titik berada pada lingkaran)
   b. Kemiringan garis singgung di $(x_1, y_1)$ adalah $-rac{x_1}{y_1}$.
   c. Persamaan garis singgungnya adalah $y - y_1 = -rac{x_1}{y_1}(x - x_1)$ atau $x_1x + y_1y = 16$.

2. **Menggunakan fakta bahwa titik P(4,-2) terletak pada garis singgung.** Substitusikan P(4,-2) ke persamaan garis singgung $x_1x + y_1y = 16$:
   $x_1(4) + y_1(-2) = 16$
   $4x_1 - 2y_1 = 16$
   $2x_1 - y_1 = 8 
ightarrow y_1 = 2x_1 - 8$

3. **Substitusikan $y_1$ ke persamaan lingkaran:**
   $x_1^2 + (2x_1 - 8)^2 = 16$
   $x_1^2 + (4x_1^2 - 32x_1 + 64) = 16$
   $5x_1^2 - 32x_1 + 48 = 0$

4. **Faktorkan persamaan kuadrat untuk mencari nilai $x_1$.**
   Ini adalah persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a=5, b=-32, c=48$.
   Diskriminan $\Delta = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4(5)(48) = 1024 - 960 = 64$.
   $x_1 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{32 \pm \sqrt{64}}{2(5)} = \frac{32 \pm 8}{10}$
   $x_{1,1} = \frac{32 + 8}{10} = \frac{40}{10} = 4$
   $x_{1,2} = \frac{32 - 8}{10} = \frac{24}{10} = 2.4$

5. **Cari nilai $y_1$ yang bersesuaian:**
   Jika $x_1 = 4$, maka $y_1 = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$. Titik singgung adalah (4, 0).
   Jika $x_1 = 2.4$, maka $y_1 = 2(2.4) - 8 = 4.8 - 8 = -3.2$. Titik singgung adalah (2.4, -3.2).

6. **Tentukan persamaan garis singgung untuk masing-masing titik singgung:**
   - Untuk titik singgung (4, 0): Gunakan $x_1x + y_1y = 16 
ightarrow 4x + 0y = 16 
ightarrow 4x = 16 
ightarrow x = 4$.
   - Untuk titik singgung (2.4, -3.2): Gunakan $x_1x + y_1y = 16 
ightarrow 2.4x - 3.2y = 16$. Untuk menyederhanakan, kita bisa membagi semua dengan 0.8: $3x - 4y = 20$.

Jadi, ada dua garis singgung yang melalui titik P(4,-2) ke lingkaran $x^2 + y^2 = 16$, yaitu $x=4$ dan $3x - 4y = 20$.