Persamaan garis singgung pada kurva y = csc x - cot x pada

Persamaan garis singgungnya adalah y = (2 - \(\sqrt{2}\))x - \(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{\pi\sqrt{2}}{4}\) + \(\sqrt{2}\) - 1.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada kurva y = csc x - cot x pada titik yang berabsis \(\pi/4\), kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut untuk mendapatkan gradien garis singgung, lalu mencari nilai y pada absis tersebut.

1.  **Mencari nilai y pada x = \(\pi/4\):**
    y = csc(x) - cot(x)
    y = csc(\(\pi/4\)) - cot(\(\pi/4\))
    Kita tahu bahwa csc(\(\pi/4\)) = \(\sqrt{2}\) dan cot(\(\pi/4\)) = 1.
    Jadi, y = \(\sqrt{2}\) - 1.
    Titik singgungnya adalah (\(\pi/4\), \(\sqrt{2}\) - 1).

2.  **Mencari turunan pertama (gradien):**
    Turunan dari csc(x) adalah -csc(x)cot(x).
    Turunan dari cot(x) adalah -csc²(x).
    Jadi, dy/dx = d/dx (csc x - cot x)
              = -csc x cot x - (-csc² x)
              = -csc x cot x + csc² x

3.  **Menghitung gradien (m) pada x = \(\pi/4\):**
    m = -csc(\(\pi/4\))cot(\(\pi/4\)) + csc²(\(\pi/4\))
    m = -(\(\sqrt{2}\))(1) + (\(\sqrt{2}\))²
    m = -\(\sqrt{2}\) + 2
    m = 2 - \(\sqrt{2}\)

4.  **Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y₁ = m(x - x₁):**
    y - (\(\sqrt{2}\) - 1) = (2 - \(\sqrt{2}\))(x - \(\pi/4\))
    y = (2 - \(\sqrt{2}\))x - \(\pi/4\)(2 - \(\sqrt{2}\)) + \(\sqrt{2}\) - 1
    y = (2 - \(\sqrt{2}\))x - \(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{\pi\sqrt{2}}{4}\) + \(\sqrt{2}\) - 1

Persamaan garis singgung pada kurva y = csc x - cot x pada titik yang berabsis \(\pi/4\) adalah y = (2 - \(\sqrt{2}\))x - \(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{\pi\sqrt{2}}{4}\) + \(\sqrt{2}\) - 1.