Persamaan garis singgung pada lingkaran x^2+y^2-6x+4y+11=0

Persamaan garis singgungnya adalah x - y - 3 = 0.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik (2, -1), kita perlu menentukan pusat dan jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Persamaan umum lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana (a, b) adalah pusat dan r adalah jari-jari. Atau, kita bisa menggunakan bentuk umum $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.

Dari persamaan $x^2+y^2-6x+4y+11=0$, kita dapatkan:
A = -6, B = 4, C = 11.

Pusat lingkaran (a, b) dapat dicari dengan rumus $a = -A/2$ dan $b = -B/2$.
$a = -(-6)/2 = 3$
$b = -(4)/2 = -2$
Jadi, pusat lingkaran adalah (3, -2).

Jari-jari (r) dapat dicari dengan rumus $r^2 = a^2 + b^2 - C$.
$r^2 = 3^2 + (-2)^2 - 11$
$r^2 = 9 + 4 - 11$
$r^2 = 13 - 11$
$r^2 = 2$
Jadi, jari-jari lingkarannya adalah $\sqrt{2}$.

Sekarang, kita cari gradien garis singgung. Gradien garis singgung pada lingkaran di titik $(x_1, y_1)$ dapat dicari dengan menurunkan persamaan lingkaran secara implisit terhadap x:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$
$2y \frac{dy}{dx} + 4 \frac{dy}{dx} = 6 - 2x$
$\frac{dy}{dx}(2y+4) = 6 - 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{6 - 2x}{2y + 4} = \frac{3 - x}{y + 2}$

Substitusikan titik (2, -1) ke dalam gradien:
$m = \frac{3 - 2}{-1 + 2} = \frac{1}{1} = 1$.

Dengan gradien m = 1 dan melalui titik (2, -1), persamaan garis singgung dapat dicari menggunakan rumus $y - y_1 = m(x - x_1)$:
$y - (-1) = 1(x - 2)$
$y + 1 = x - 2$
$y = x - 3$
Atau dalam bentuk lain:
$x - y - 3 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik (2, -1) adalah $y = x - 3$ atau $x - y - 3 = 0$.