Persamaan garis singgung parabola y^2=8x yang ditarik dari

Persamaan garis singgungnya adalah y = 2x + 1 dan y = x + 2.

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan garis singgung parabola y^2 = 8x yang ditarik dari titik (1,3), kita dapat menggunakan konsep gradien dan sifat garis singgung.

Misalkan titik singgung pada parabola adalah (x₀, y₀).
Karena (x₀, y₀) terletak pada parabola, maka y₀² = 8x₀. (1)

Turunan implisit dari y² = 8x terhadap x adalah:
2y * dy/dx = 8
dy/dx = 8 / (2y) = 4/y

Gradien garis singgung di titik (x₀, y₀) adalah m = 4/y₀.

Persamaan garis yang melalui titik (1,3) dan (x₀, y₀) adalah:
(y - 3) / (x - 1) = (y₀ - 3) / (x₀ - 1)

Karena garis ini adalah garis singgung, gradiennya juga sama dengan 4/y₀:
(y₀ - 3) / (x₀ - 1) = 4/y₀
y₀(y₀ - 3) = 4(x₀ - 1)
y₀² - 3y₀ = 4x₀ - 4

Gantikan y₀² dengan 8x₀ dari persamaan (1):
8x₀ - 3y₀ = 4x₀ - 4
4x₀ - 3y₀ + 4 = 0
x₀ = (3y₀ - 4) / 4

Substitusikan nilai x₀ ini kembali ke persamaan (1):
y₀² = 8 * [(3y₀ - 4) / 4]
y₀² = 2 * (3y₀ - 4)
y₀² = 6y₀ - 8
y₀² - 6y₀ + 8 = 0
(y₀ - 2)(y₀ - 4) = 0

Maka, y₀ = 2 atau y₀ = 4.

Jika y₀ = 2:
x₀ = (3*2 - 4) / 4 = (6 - 4) / 4 = 2 / 4 = 1/2.
Titik singgungnya adalah (1/2, 2).
Gradien m = 4/y₀ = 4/2 = 2.
Persamaan garis singgung: y - 2 = 2(x - 1/2)
y - 2 = 2x - 1
y = 2x + 1.

Jika y₀ = 4:
x₀ = (3*4 - 4) / 4 = (12 - 4) / 4 = 8 / 4 = 2.
Titik singgungnya adalah (2, 4).
Gradien m = 4/y₀ = 4/4 = 1.
Persamaan garis singgung: y - 4 = 1(x - 2)
y - 4 = x - 2
y = x + 2.

Jadi, ada dua persamaan garis singgung yang mungkin.