Persamaan grafik fungsi kuadrat dari gambar di bawah ini

f(x) = -x^2 + 5x - 4

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat dari gambar, kita perlu mengidentifikasi titik-titik yang dilalui oleh grafik tersebut. Dari gambar, kita dapat melihat bahwa grafik memotong sumbu x di dua titik, yaitu (-2, 0) dan (2, 0), serta memotong sumbu y di titik (0, -4).

Kita dapat menggunakan bentuk umum persamaan kuadrat: f(x) = ax^2 + bx + c.

Karena grafik memotong sumbu y di (0, -4), maka f(0) = c = -4. Jadi, persamaannya menjadi f(x) = ax^2 + bx - 4.

Karena grafik memotong sumbu x di (-2, 0) dan (2, 0), kita bisa menggunakan akar-akar persamaan kuadrat. Bentuk faktorisasi dari persamaan kuadrat dengan akar x1 dan x2 adalah f(x) = a(x - x1)(x - x2).

Dalam kasus ini, x1 = -2 dan x2 = 2. Maka, f(x) = a(x - (-2))(x - 2) = a(x + 2)(x - 2) = a(x^2 - 4).

Sekarang kita gunakan titik lain yang dilalui grafik, yaitu (0, -4) untuk mencari nilai 'a'.
f(0) = a(0^2 - 4) = -4a = -4.
Dari sini, kita dapatkan a = 1.

Maka, persamaan kuadratnya adalah f(x) = 1(x^2 - 4) = x^2 - 4.

Namun, jika kita perhatikan kembali gambar, grafik tersebut terbuka ke bawah, yang berarti nilai 'a' seharusnya negatif. Ada kemungkinan interpretasi gambar yang berbeda atau titik-titik yang diasumsikan dari gambar kurang tepat jika dibandingkan dengan pilihan jawaban yang diberikan.

Mari kita coba gunakan titik-titik dari pilihan jawaban:
Jika kita asumsikan bahwa titik potong sumbu y adalah -4, maka pilihan A, B, C, D, E yang memiliki konstanta -4 pada f(x) adalah kandidat yang valid.

Mari kita uji salah satu pilihan, misalnya A: f(x) = -4x^2 + 8x - 4.
Untuk x = 0, f(0) = -4. (Cocok)
Untuk x = 2, f(2) = -4(2)^2 + 8(2) - 4 = -4(4) + 16 - 4 = -16 + 16 - 4 = -4. Ini tidak sesuai dengan titik (2, 0).

Mari kita coba uji pilihan lain yang sepertinya lebih sesuai dengan grafik yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu y di -4.
Jika kita perhatikan ulang gambar, puncak grafik terlihat berada di sekitar (1, 0) atau (1, -1) dan memotong sumbu x di dua titik. Namun, berdasarkan sumbu yang tertera, titik potong sumbu x tampak di -2 dan 2. Jika demikian, maka f(x) = a(x^2-4). Karena terbuka ke bawah, a negatif. Jika a = -1, maka f(x) = -(x^2-4) = -x^2 + 4. Ini tidak cocok dengan titik potong sumbu y (-4).

Ada kemungkinan kesalahan dalam interpretasi soal atau gambar. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa titik potong sumbu x adalah -1 dan 1, serta titik potong sumbu y adalah -4 (sesuai dengan pilihan C: f(x) = -3x^2 + 7x - 4, f(1) = -3+7-4 = 0, f(-1) = -3-7-4 = -14. Tidak cocok).

Jika kita kembali ke interpretasi awal bahwa titik potong sumbu x adalah -2 dan 2, maka f(x) = a(x^2 - 4). Jika kita uji pilihan A, f(x) = -4x^2 + 8x - 4. Ini memiliki bentuk yang berbeda.

Mari kita lihat pilihan B: f(x) = -2x^2 + 6x - 4. Jika x=1, f(1) = -2+6-4=0. Jika x=2, f(2) = -2(4)+6(2)-4 = -8+12-4 = 0. Titik potong sumbu x adalah 1 dan 2. Titik potong sumbu y adalah f(0)=-4. Grafik ini terbuka ke bawah. Ini cocok dengan gambar jika titik potong sumbu x adalah 1 dan 2, dan sumbu y di -4, serta puncak berada di antara 1 dan 2.

Mengacu pada gambar yang diberikan dengan sumbu x berlabel -4, O, dan 4, serta sumbu y berlabel O, jika kita menganggap titik potong sumbu x adalah -1 dan 3 (meskipun tidak jelas dari gambar), dan titik potong sumbu y adalah -4, maka kita dapat mencoba mencocokkannya dengan pilihan.

Pilihan A: f(x) = -4x^2 + 8x - 4. Titik potong y = -4. Akar: -4x^2 + 8x - 4 = 0 => x^2 - 2x + 1 = 0 => (x-1)^2 = 0 => x = 1 (akar kembar).

Pilihan B: f(x) = -2x^2 + 6x - 4. Titik potong y = -4. Akar: -2x^2 + 6x - 4 = 0 => x^2 - 3x + 2 = 0 => (x-1)(x-2) = 0 => x = 1, x = 2.

Pilihan C: f(x) = -3x^2 + 7x - 4. Titik potong y = -4. Akar: -3x^2 + 7x - 4 = 0. Diskriminan = 7^2 - 4(-3)(-4) = 49 - 48 = 1. Akar = (-7 ± 1) / -6 => x = -6 / -6 = 1 atau x = -8 / -6 = 4/3.

Pilihan D: f(x) = -5x^2 + 9x - 4. Titik potong y = -4. Akar: -5x^2 + 9x - 4 = 0. Diskriminan = 9^2 - 4(-5)(-4) = 81 - 80 = 1. Akar = (-9 ± 1) / -10 => x = -8 / -10 = 4/5 atau x = -10 / -10 = 1.

Pilihan E: f(x) = -x^2 + 5x - 4. Titik potong y = -4. Akar: -x^2 + 5x - 4 = 0 => x^2 - 5x + 4 = 0 => (x-1)(x-4) = 0 => x = 1, x = 4.

Berdasarkan gambar, titik potong sumbu x tampaknya lebih dekat ke -1 dan 3, atau -2 dan 2. Jika kita menginterpretasikan ulang sumbu x, di mana O adalah 0, lalu ada tanda di -1, -2, -3, -4 dan 1, 2, 3, 4. Jika titik potong sumbu x adalah -1 dan 4, maka pilihan E cocok. Jika titik potong sumbu x adalah 1 dan 2, maka pilihan B cocok. Jika titik potong sumbu x adalah 1 dan 4/3, maka pilihan C cocok. Jika titik potong sumbu x adalah 4/5 dan 1, maka pilihan D cocok. Jika titik potong sumbu x adalah 1 (kembar), maka pilihan A cocok.

Melihat gambar secara kasar, titik potong sumbu x tampaknya berada di sekitar 1 dan 4. Maka pilihan E: f(x) = -x^2 + 5x - 4 paling sesuai.