Persamaan lingkaran yang diameternya merupakan ruas garis

Persamaan lingkaran adalah (x - 5)² + (y + 1)² = 25.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan ruas garis titik A(2,3) dan B(8,-5), kita perlu mencari titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya.

1.  **Mencari Titik Pusat Lingkaran (P):**
    Titik pusat lingkaran adalah titik tengah dari diameter AB.
    Koordinat titik tengah (x, y) dihitung dengan rumus:
    x = (x₁ + x₂) / 2
    y = (y₁ + y₂) / 2
    Dengan A(x₁, y₁) = (2, 3) dan B(x₂, y₂) = (8, -5):
    x = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5
    y = (3 + (-5)) / 2 = -2 / 2 = -1
    Jadi, titik pusat lingkaran adalah P(5, -1).

2.  **Mencari Jari-jari Lingkaran (r):**
    Jari-jari adalah setengah dari panjang diameter. Kita bisa menghitung panjang diameter AB terlebih dahulu menggunakan rumus jarak antara dua titik:
    d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
    d² = (8 - 2)² + (-5 - 3)²
    d² = (6)² + (-8)²
    d² = 36 + 64
    d² = 100
    d = √100 = 10
    Panjang diameter adalah 10. Maka, jari-jarinya (r) adalah:
    r = d / 2 = 10 / 2 = 5
    Atau, kita bisa menghitung jarak dari titik pusat P(5, -1) ke salah satu titik ujung diameter, misalnya A(2, 3):
    r² = (2 - 5)² + (3 - (-1))²
    r² = (-3)² + (4)²
    r² = 9 + 16
    r² = 25
    r = √25 = 5

3.  **Menyusun Persamaan Lingkaran:**
    Persamaan umum lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah:
    (x - h)² + (y - k)² = r²
    Dengan pusat P(5, -1) dan jari-jari r = 5:
    (x - 5)² + (y - (-1))² = 5²
    (x - 5)² + (y + 1)² = 25

    Jika dijabarkan:
    (x² - 10x + 25) + (y² + 2y + 1) = 25
    x² + y² - 10x + 2y + 26 = 25
    x² + y² - 10x + 2y + 1 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang diameternya merupakan ruas garis titik A(2,3) dan B(8,-5) adalah **(x - 5)² + (y + 1)² = 25** atau **x² + y² - 10x + 2y + 1 = 0**.