Persamaan x^3+5x^2+7x+a=0 memiliki sebuah akar kembar.

Akar-akar persamaan adalah -1 (kembar) dan -3 jika a=3, atau -7/3 (kembar) dan -1/3 jika a=49/27.

Pembahasan

Misalkan persamaan polinomialnya adalah $P(x) = x^3 + 5x^2 + 7x + a = 0$.
Karena persamaan ini memiliki akar kembar, misalkan akar-akarnya adalah $\alpha, \alpha, \beta$.

Menurut Teorema Vieta untuk polinomial derajat 3:
1. Jumlah akar-akar: $\alpha + \alpha + \beta = -\frac{5}{1} \implies 2\alpha + \beta = -5$
2. Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan: $\alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \beta = \frac{7}{1} \implies \alpha^2 + 2\alpha\beta = 7$
3. Hasil kali akar-akar: $\alpha \cdot \alpha \cdot \beta = -\frac{a}{1} \implies \alpha^2 \beta = -a$

Dari persamaan (1), kita dapat mengekspresikan $\beta$ dalam bentuk $\alpha$: $\beta = -5 - 2\alpha$.

Substitusikan ekspresi $\beta$ ini ke dalam persamaan (2):
$\alpha^2 + 2\alpha(-5 - 2\alpha) = 7$
$\alpha^2 - 10\alpha - 4\alpha^2 = 7$
$-3\alpha^2 - 10\alpha = 7$
$3\alpha^2 + 10\alpha + 7 = 0$

Kita faktorkan persamaan kuadrat ini untuk mencari nilai $\alpha$:
$(3\alpha + 7)(\alpha + 1) = 0$

Maka, $\alpha = -1$ atau $\alpha = -\frac{7}{3}$.

Kasus 1: Jika $\alpha = -1$
Substitusikan $\alpha = -1$ ke dalam persamaan $\beta = -5 - 2\alpha$:
$\beta = -5 - 2(-1) = -5 + 2 = -3$

Jadi, akar-akarnya adalah -1, -1, dan -3.
Sekarang kita cari nilai $a$ menggunakan persamaan (3): $\alpha^2 \beta = -a$
$(-1)^2 (-3) = -a$
$1 \times (-3) = -a$
$-3 = -a 

a = 3$

Persamaan menjadi $x^3 + 5x^2 + 7x + 3 = 0$. Kita bisa cek apakah -1 adalah akar kembar:
$P(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 3 = -1 + 5 - 7 + 3 = 0$
$P'(x) = 3x^2 + 10x + 7$
$P'(-1) = 3(-1)^2 + 10(-1) + 7 = 3 - 10 + 7 = 0$. Karena $P(-1)=0$ dan $P'(-1)=0$, maka -1 adalah akar kembar.

Kasus 2: Jika $\alpha = -\frac{7}{3}$
Substitusikan $\alpha = -\frac{7}{3}$ ke dalam persamaan $\beta = -5 - 2\alpha$:
$\beta = -5 - 2(-\frac{7}{3}) = -5 + \frac{14}{3} = -\frac{15}{3} + \frac{14}{3} = -\frac{1}{3}$

Jadi, akar-akarnya adalah $-\frac{7}{3}, -\frac{7}{3}, -\frac{1}{3}$.
Sekarang kita cari nilai $a$ menggunakan persamaan (3): $\alpha^2 \beta = -a$
$(-\frac{7}{3})^2 (-\frac{1}{3}) = -a$
$(\frac{49}{9}) (-\frac{1}{3}) = -a$
$-\frac{49}{27} = -a$
$a = \frac{49}{27}$

Persamaan menjadi $x^3 + 5x^2 + 7x + \frac{49}{27} = 0$. Kita bisa cek apakah $-\frac{7}{3}$ adalah akar kembar:
$P(-\frac{7}{3}) = (-\frac{7}{3})^3 + 5(-\frac{7}{3})^2 + 7(-\frac{7}{3}) + \frac{49}{27} = -343/27 + 5(49/9) - 49/3 + 49/27 = -343/27 + 245/9 - 49/3 + 49/27 = (-343 + 735 - 441 + 49)/27 = 0$
$P'(x) = 3x^2 + 10x + 7$
$P'(-\frac{7}{3}) = 3(-\frac{7}{3})^2 + 10(-\frac{7}{3}) + 7 = 3(49/9) - 70/3 + 7 = 49/3 - 70/3 + 21/3 = (49 - 70 + 21)/3 = 0$. Karena $P(-\frac{7}{3})=0$ dan $P'(-\frac{7}{3})=0$, maka $-\frac{7}{3}$ adalah akar kembar.

Ada dua kemungkinan nilai $a$. Jika kita diminta untuk menyelesaikan persamaan (menemukan akar-akarnya), maka ada dua set solusi tergantung pada nilai $a$. Jika yang dimaksud adalah mencari nilai $a$, maka ada dua kemungkinan nilai $a$. Soal ini sedikit ambigu apakah yang dicari nilai $a$ atau akar-akarnya.

Jika yang dimaksud adalah mencari akar-akar persamaan:
Kasus 1: $a=3$, akar-akarnya adalah -1 (akar kembar) dan -3.
Kasus 2: $a=49/27$, akar-akarnya adalah -7/3 (akar kembar) dan -1/3.