Persamaan x^4+px^3+21x^2-4px+10p=0 mempunyai sebuah akar

Nilai p = -10 dan akar-akarnya adalah 5, 5, 2, -2.

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah $\alpha, \alpha, \beta, -\beta$.

Dari Vieta's formulas:

1. Jumlah akar-akar:
   $\alpha + \alpha + \beta + (-\beta) = -p$
   $2\alpha = -p 
   \alpha = -p/2$

2. Jumlah hasil kali akar->
   $\alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot (-\beta) + \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot (-\beta) + \beta \cdot (-\beta) = 21$
   $\alpha^2 + \alpha \beta - \alpha \beta - \alpha \beta - \alpha \beta - \beta^2 = 21$
   $\alpha^2 - 2\alpha \beta - \beta^2 = 21$

3. Jumlah hasil kali tiga akar:
   $\alpha \cdot \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \alpha \cdot (-\beta) + \alpha \cdot \beta \cdot (-\beta) + \alpha \cdot \beta \cdot (-\beta) = -(-4p)$
   $\alpha^2 \beta - \alpha^2 \beta - \alpha \beta^2 - \alpha \beta^2 = 4p$
   $-2\alpha \beta^2 = 4p$
   $\alpha \beta^2 = -2p$

4. Hasil kali akar-akar:
   $\alpha \cdot \alpha \cdot \beta \cdot (-\beta) = 10p$
   $-\alpha^2 \beta^2 = 10p$

Substitusikan $\alpha = -p/2$ ke dalam persamaan hasil kali akar-akar:

$-(-p/2)^2 \beta^2 = 10p$
$-(p^2/4) \beta^2 = 10p$
$-p^2 \beta^2 = 40p$

Jika $p \neq 0$, maka $-p \beta^2 = 40$, sehingga $\beta^2 = -40/p$.

Substitusikan $\alpha = -p/2$ ke dalam persamaan jumlah hasil kali dua akar:

$(-p/2)^2 - 2(-p/2) \beta - \beta^2 = 21$
$p^2/4 + p \beta - \beta^2 = 21$

Substitusikan $\alpha = -p/2$ ke dalam persamaan jumlah hasil kali tiga akar:

$-2(-p/2) \beta^2 = 4p$
$p \beta^2 = 4p$

Jika $p \neq 0$, maka $\beta^2 = 4$.

Karena $\beta^2 = 4$, maka $\beta = 2$ atau $\beta = -2$.

Karena $\beta^2 = -40/p$, maka $4 = -40/p$, sehingga $4p = -40$, yang berarti $p = -10$.

Jika $p = -10$, maka $\alpha = -p/2 = -(-10)/2 = 5$.

Akar-akarnya adalah $5, 5, 2, -2$.

Mari kita cek:

$x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 4(-10)x + 10(-10) = 0$
$x^4 - 10x^3 + 21x^2 + 40x - 100 = 0$

$(x-5)^2(x-2)(x+2) = (x^2 - 10x + 25)(x^2 - 4)$
$= x^2(x^2 - 4) - 10x(x^2 - 4) + 25(x^2 - 4)$
$= x^4 - 4x^2 - 10x^3 + 40x + 25x^2 - 100$
$= x^4 - 10x^3 + 21x^2 + 40x - 100$

Jadi, nilai $p = -10$ dan akar-akarnya adalah $5, 5, 2, -2$.