Persegi ajaib merupakan persegi yang dalam setiap persegi

Soal ini tidak dapat diselesaikan tanpa informasi tambahan mengenai penempatan angka atau konstanta ajaib.

Pembahasan

Untuk mengisi persegi agar menjadi persegi ajaib, kita perlu memastikan bahwa jumlah setiap baris, kolom, dan diagonal sama. 
Diketahui sebagian angka: 
Baris 1: 10, __, __
Baris 2: __, __, 15
Baris 3: __, 40, __
Kolom 1: 10, __, __
Kolom 2: __, __, 40
Kolom 3: __, 15, __
Diagonal 1 (kiri atas ke kanan bawah): 10, __, __
Diagonal 2 (kanan atas ke kiri bawah): __, __, __

Persegi ajaib yang umum memiliki susunan 3x3. Mari kita asumsikan ini adalah persegi ajaib 3x3.
Kita perlu mencari konstanta ajaib (jumlah setiap baris, kolom, dan diagonal). Dari angka yang diberikan, kita tidak dapat langsung menentukan konstanta ajaib karena tidak ada satu baris, kolom, atau diagonal yang lengkap.
Namun, jika kita melihat contoh umum persegi ajaib, angka-angka tersebut biasanya berurutan atau memiliki pola tertentu. Tanpa informasi lebih lanjut mengenai pola atau konstanta ajaib, soal ini tidak dapat diselesaikan secara unik. 

Jika kita mengasumsikan bahwa angka yang diberikan adalah bagian dari persegi ajaib 3x3, dan kita mencoba mencari konstanta ajaib:
Misalkan persegi ajaib adalah:
a b c
d e f
g h i

Kita punya beberapa nilai: a=10, f=15, h=40. (Ini asumsi penempatan berdasarkan input "10 45 15 40" yang mungkin merujuk pada posisi tertentu, namun tidak jelas)

Mari kita coba interpretasi lain: mungkin angka 10, 45, 15, 40 adalah angka yang ada dalam persegi, bukan pada posisi tertentu.

Jika kita mengambil contoh persegi ajaib yang paling terkenal (persegi ajaib Dürer atau persegi ajaib Euler), angkanya sangat berbeda.

Asumsi lain: mungkin 45 adalah konstanta ajaibnya. Mari kita coba.
Jika konstanta ajaib = 45:

10 + b + c = 45  => b + c = 35
d + e + f = 45
g + h + i = 45

10 + d + g = 45
b + e + h = 45
c + f + i = 45

10 + e + i = 45
c + e + g = 45

Kita juga diberi angka 15 dan 40.
Jika 15 berada di kolom ke-3, baris ke-2 (f=15) dan 40 berada di baris ke-3, kolom ke-2 (h=40).

a  b  c
d  e  15
g  40 i

Baris 1: 10 + b + c = 45 => b + c = 35
Baris 3: g + 40 + i = 45 => g + i = 5
Kolom 1: 10 + d + g = 45 => d + g = 35
Kolom 2: b + e + 40 = 45 => b + e = 5
Kolom 3: c + 15 + i = 45 => c + i = 30
Diagonal 1: 10 + e + i = 45 => e + i = 35
Diagonal 2: c + e + g = 45

Dari g + i = 5 dan e + i = 35, kita bisa dapatkan:
Jika g = 0, i = 5. Maka e = 30. Tapi g + i = 5 tidak cukup informasi.

Mari kita coba konstanta ajaib lain. Mungkin jumlah dari angka yang diberikan adalah petunjuk?
10 + 45 + 15 + 40 = 110.

Tanpa adanya petunjuk yang lebih jelas mengenai posisi angka atau konstanta ajaib, soal ini sangat ambigu. Namun, jika kita menganggap ini adalah soal standar persegi ajaib 3x3, dan angka yang diberikan adalah beberapa elemen kunci:

Jika 10 adalah pojok kiri atas, dan 40 adalah tengah bawah, dan 15 adalah tengah kanan:

10  b  c
d   e  15
g  40  i

Jumlah total elemen dalam persegi ajaib 3x3 adalah 9 kali nilai tengah (jika ada pola aritmatika).

Mari kita gunakan properti umum persegi ajaib: Jumlah semua elemen = 3 * konstanta ajaib.

Jika kita berasumsi bahwa soal ini merujuk pada sebuah persegi ajaib 3x3 dan angka 10, 15, 40 adalah bagian dari persegi tersebut, namun posisi 45 tidak jelas, atau 45 adalah konstanta ajaibnya. 

Jika konstanta ajaib = 45, dan kita memiliki angka 10, 15, 40 di dalamnya:
Kita perlu mengisi sisanya.
Contoh persegi ajaib 3x3 dengan konstanta 45:

22 17 6
7  15 23
16 13 16  (Ini bukan contoh yang baik)

Mari kita cari pola jika 10, 15, 40 adalah bagian dari persegi:

Contoh persegi ajaib: 
 8 1 6
 3 5 7
 4 9 2 (Jumlah = 15)

Soal ini sangat bergantung pada bagaimana angka-angka tersebut ditempatkan. Jika kita mengasumsikan bahwa angka yang diberikan adalah bagian dari persegi ajaib 3x3 dan konstanta ajaibnya adalah 45:

10 + b + c = 45  => b + c = 35
d + e + 15 = 45  => d + e = 30
g + h + i = 45

10 + d + g = 45  => d + g = 35
b + e + h = 45
c + 15 + i = 45  => c + i = 30

10 + e + i = 45  => e + i = 35
c + e + g = 45

Jika kita punya 40, di mana posisinya? Misal h=40.

b + e + 40 = 45  => b + e = 5

Dari b + c = 35 dan c + i = 30, maka b - i = 5.
Dari e + i = 35, maka i = 35 - e.
Substitusi ke b - i = 5: b - (35 - e) = 5 => b + e - 35 = 5 => b + e = 40. 

Ini bertentangan dengan b + e = 5 yang kita dapatkan jika h=40.

Asumsi lain: 45 adalah angka yang harus diisi di salah satu kotak kosong.

Jika kita mengasumsikan baris/kolom yang diketahui:

10 | ? | ?
----------------
?  | ? | 15
----------------
?  | 40| ?

Jika konstanta ajaib adalah K.

10 + x + y = K
z + w + 15 = K
a + 40 + b = K

10 + z + a = K
x + w + 40 = K
y + 15 + b = K

10 + w + b = K
y + w + a = K

Soal ini tidak dapat diselesaikan tanpa informasi lebih lanjut mengenai penempatan angka atau konstanta ajaib.