Pertidaksamaan 2x-a> (x-1)/2+ax/3 mempunyai penyelesaian x

Batas-batas nilai a yang memenuhi adalah a ≤ 3.

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah 2x - a > (x - 1)/2 + ax/3.
Untuk menyelesaikannya, kita samakan penyebutnya terlebih dahulu:
Kalikan kedua sisi dengan 6:
12x - 6a > 3(x - 1) + 2ax
12x - 6a > 3x - 3 + 2ax
Pindahkan semua suku yang mengandung x ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
12x - 3x - 2ax > 6a - 3
9x - 2ax > 6a - 3
x(9 - 2a) > 6a - 3

Karena penyelesaiannya adalah x > 5, maka kita perlu membagi kedua sisi dengan (9 - 2a). Agar arah pertidaksamaan tetap sama (>) setelah pembagian, maka (9 - 2a) harus positif.
Jika (9 - 2a) > 0, maka 9 > 2a, atau a < 9/2.
Dalam kasus ini, x > (6a - 3) / (9 - 2a).
Kita tahu bahwa x > 5, jadi kita punya:
(6a - 3) / (9 - 2a) = 5
6a - 3 = 5(9 - 2a)
6a - 3 = 45 - 10a
16a = 48
a = 3.

Jika (9 - 2a) < 0, maka 9 < 2a, atau a > 9/2.
Dalam kasus ini, arah pertidaksamaan berbalik menjadi < setelah pembagian:
x < (6a - 3) / (9 - 2a).
Ini bertentangan dengan penyelesaian x > 5, jadi kasus ini tidak mungkin.

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 3. Namun, pertanyaannya adalah batas-batas nilai a yang memenuhi. Mari kita periksa kembali.

Jika x(9 - 2a) > 6a - 3 memiliki solusi x > 5, maka:
Kasus 1: 9 - 2a > 0 (a < 9/2).
Dalam hal ini, x > (6a - 3) / (9 - 2a).
Agar x > 5 menjadi solusi, maka haruslah (6a - 3) / (9 - 2a) ≤ 5.
6a - 3 ≤ 5(9 - 2a)
6a - 3 ≤ 45 - 10a
16a ≤ 48
a ≤ 3.
Karena kita juga memiliki syarat a < 9/2, maka solusi untuk kasus ini adalah a ≤ 3.

Kasus 2: 9 - 2a < 0 (a > 9/2).
Dalam hal ini, x < (6a - 3) / (9 - 2a).
Ini tidak mungkin menghasilkan solusi x > 5.

Oleh karena itu, batas-batas nilai a yang memenuhi adalah a ≤ 3.