Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari berbeda. Jari-jari

1 cm atau 25 cm

Pembahasan

Diketahui:
Jari-jari lingkaran pertama (r1) = 13 cm
Jarak kedua pusat lingkaran (d) = 20 cm
Panjang garis singgung persekutuan luar (gspl) = 16 cm

Rumus garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah:
\(gspl = \sqrt{d^2 - (r1 - r2)^2}\)

Kita perlu mencari jari-jari lingkaran kedua (r2).
Substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus:
\(16 = \sqrt{20^2 - (13 - r2)^2}\)
Kuadratkan kedua sisi:
\(16^2 = 20^2 - (13 - r2)^2\)
\(256 = 400 - (13 - r2)^2\)
Pindahkan \((13 - r2)^2\) ke sisi kiri dan 256 ke sisi kanan:
\((13 - r2)^2 = 400 - 256\)
\((13 - r2)^2 = 144\)
Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
\(13 - r2 = \pm\sqrt{144}\)
\(13 - r2 = \pm 12\)

Kasus 1: \(13 - r2 = 12\)
\(-r2 = 12 - 13\)
\(-r2 = -1\)
\(r2 = 1\)

Kasus 2: \(13 - r2 = -12\)
\(-r2 = -12 - 13\)
\(-r2 = -25\)
\(r2 = 25\)

Karena jari-jari lingkaran tidak mungkin negatif dan biasanya diasumsikan lebih kecil jika tidak disebutkan, kita bisa memilih salah satu dari nilai positif tersebut. Namun, dalam konteks soal, biasanya ada satu jawaban yang dimaksud. Jika kita mengasumsikan r2 lebih kecil dari r1, maka r2 = 1 cm. Jika r2 bisa lebih besar, maka r2 = 25 cm. Tanpa informasi tambahan, kedua jawaban ini secara matematis benar. Namun, jika kita melihat pilihan umum dalam soal ujian, seringkali nilai yang lebih kecil yang diharapkan jika ada dua kemungkinan positif.

Mari kita cek dengan r2 = 1 cm:
\(gspl = \sqrt{20^2 - (13 - 1)^2} = \sqrt{400 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\) cm. Ini cocok.

Mari kita cek dengan r2 = 25 cm:
\(gspl = \sqrt{20^2 - (13 - 25)^2} = \sqrt{400 - (-12)^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\) cm. Ini juga cocok.

Karena soal menyatakan "panjang jari-jari lingkaran kedua yang tepat adalah", dan biasanya ada satu jawaban yang diharapkan, mari kita perhatikan lagi soalnya. "Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari berbeda". Ini tidak membatasi r2 lebih kecil dari r1. Namun, jika kita harus memilih satu, dan tanpa konteks tambahan, kedua nilai tersebut valid. Jika soal ini berasal dari pilihan ganda, pilihan yang tersedia akan menentukan jawabannya. Dalam kasus ini, kita akan memberikan kedua kemungkinan.