Pertumbuhan penduduk suatu kota setiap tahun diasumsikan

Pertambahan penduduk pada tahun 2017 adalah $320 \sqrt[3]{4}$ orang.

Pembahasan

Pertumbuhan penduduk kota mengikuti aturan barisan geometri. Diketahui:
Suku ke-2 (tahun 2013, karena 2012 adalah tahun awal pertumbuhan) adalah $a = 5$ orang.
Suku ke-4 (tahun 2015, 2015 - 2012 = 3 tahun, namun pertumbuhan dihitung dari tahun awal, jadi 2012 adalah n=1, 2013 n=2, 2014 n=3, 2015 n=4) adalah $ar^{4-1} = ar^3 = 80$ orang.

Kita dapat mencari rasio (r) dengan membagi suku ke-4 dengan suku ke-2:
$\, \frac{ar^3}{a} = \frac{80}{5}$
$\, r^3 = 16$

Ini tampaknya tidak menghasilkan rasio bilangan bulat. Mari kita asumsikan bahwa tahun 2012 adalah tahun pertama pertumbuhan (n=1) dan tahun 2015 adalah tahun keempat pertumbuhan (n=4).

Jadi, suku pertama (n=1, tahun 2012) adalah 5 orang. Ini berarti $U_1 = a = 5$. Pertumbuhan pada tahun 2015 adalah 80 orang. Jika tahun 2012 adalah $U_1$, maka tahun 2015 adalah $U_{2015-2012+1} = U_4$. Jadi, $U_4 = ar^{4-1} = ar^3 = 80$.

Dari sini kita dapatkan:
$\, \frac{ar^3}{a} = \frac{80}{5}$
$\, r^3 = 16$

Jika kita mengasumsikan bahwa 'pertambahan sebanyak 5 orang pada tahun 2012' berarti pada akhir tahun 2012, dan 'pertambahan sebanyak 80 orang pada tahun 2015' berarti pada akhir tahun 2015. Maka, periode waktu antara kedua pengukuran adalah 3 tahun (2013, 2014, 2015).

Misalkan $U_n$ adalah pertambahan penduduk pada tahun ke-n.
Kita memiliki barisan geometri, $U_n = a 	imes r^{n-1}$.
Jika tahun 2012 adalah tahun ke-1, maka $U_1 = a = 5$.
Tahun 2015 adalah tahun ke-4, maka $U_4 = ar^3 = 80$.
$\, \frac{ar^3}{a} = \frac{80}{5} \implies r^3 = 16$

Kita perlu mencari pertambahan penduduk pada tahun 2017, yang merupakan tahun ke-6 (2017 - 2012 + 1 = 6). Maka, kita perlu mencari $U_6 = ar^5$.

Kita tahu $r^3 = 16$. Maka $r = \sqrt[3]{16} = 2 \sqrt[3]{2}$.

$U_6 = a 	imes r^5 = 5 	imes (2 \sqrt[3]{2})^5 = 5 	imes (32 	imes \sqrt[3]{32}) = 5 	imes (32 	imes 2 \sqrt[3]{4}) = 5 	imes 64 \sqrt[3]{4} = 320 \sqrt[3]{4}$.

Ada kemungkinan interpretasi lain dari soal ini. Jika 5 orang adalah pertumbuhan di tahun pertama (misal n=1) dan 80 orang adalah pertumbuhan di tahun ke-4 (misal n=4).
$U_1 = a = 5$
$U_4 = ar^3 = 80$
$r^3 = 16$
$r = 16^{1/3}$

Kita ingin mencari $U_7$ (tahun 2017, jika 2012 adalah tahun ke-1, 2017 adalah tahun ke-6?
Jika 2012 adalah tahun ke-1, 2013 tahun ke-2, 2014 tahun ke-3, 2015 tahun ke-4, 2016 tahun ke-5, 2017 tahun ke-6.
$U_6 = ar^5 = 5 	imes (16^{1/3})^5 = 5 	imes 16^{5/3} = 5 	imes (16^5)^{1/3} = 5 	imes (1048576)^{1/3} \approx 5 	imes 101.56 \approx 507.8$ 

Mari kita coba interpretasi lain: Pertumbuhan tahunan adalah $U_n$. Tahun 2012 pertambahannya 5, tahun 2015 pertambahannya 80. Jarak waktu 3 tahun.
$U_n = a 	imes r^{n-1}$
Misal tahun 2012 adalah $n=1$, maka $U_1=5$. Maka tahun 2015 adalah $n=4$, $U_4 = ar^3 = 80$. Ini memberikan $r^3=16$.

Jika kita anggap 2012 adalah titik awal, dan pertambahan di tahun 2012 adalah 5. Pertambahan di tahun 2015 adalah 80. Jaraknya 3 tahun.
$U_{2015} = U_{2012} 	imes r^{(2015-2012)}$
$80 = 5 	imes r^3$
$r^3 = 16$

Kita ingin mencari pertambahan pada tahun 2017, yaitu $U_{2017}$.
$U_{2017} = U_{2015} 	imes r^{(2017-2015)}$
$U_{2017} = 80 	imes r^2$

Karena $r^3 = 16$, maka $r = 16^{1/3}$.
$r^2 = (16^{1/3})^2 = 16^{2/3} = (2^4)^{2/3} = 2^{8/3} = 2^2 	imes 2^{2/3} = 4 	imes \sqrt[3]{4}$.

$U_{2017} = 80 	imes (4 	imes \sqrt[3]{4}) = 320 \sqrt[3]{4}$.

Ini masih menghasilkan jawaban yang tidak bulat. Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam soal atau interpretasi.

Jika kita asumsikan bahwa pertumbuhan penduduk pada tahun ke-n adalah $U_n$, dan pertambahan penduduk pada tahun 2012 adalah $U_1 = 5$, dan pertambahan penduduk pada tahun 2015 adalah $U_4 = 80$. Maka $U_n = ar^{n-1}$.
$U_1 = a = 5$
$U_4 = ar^3 = 80$
$r^3 = 16$

Untuk tahun 2017, jika 2012 adalah tahun ke-1, maka 2017 adalah tahun ke-6. Kita cari $U_6 = ar^5$.
$U_6 = 5 	imes (16^{1/3})^5 = 5 	imes 16^{5/3}$.

Kemungkinan lain: Jika 5 adalah pertambahan DI tahun 2012, dan 80 adalah pertambahan DI tahun 2015. Jaraknya 3 tahun. Misalkan rasio pertumbuhannya $r$. Maka $80 = 5 	imes r^3$, jadi $r^3=16$.
Kita ingin tahu pertambahan di tahun 2017. Jarak dari 2015 ke 2017 adalah 2 tahun. Jadi pertambahan di tahun 2017 adalah $80 	imes r^2$.
$r = 16^{1/3}$. $r^2 = 16^{2/3}$.
$80 	imes 16^{2/3} = 80 	imes (2^4)^{2/3} = 80 	imes 2^{8/3} = 80 	imes 2^2 	imes 2^{2/3} = 80 	imes 4 	imes \sqrt[3]{4} = 320 \sqrt[3]{4}$.

Jika soal dimaksudkan agar rasio bulat, mungkin ada kesalahan pengetikan.
Misalnya, jika tahun 2015 pertambahannya 40 orang, maka $40 = 5 	imes r^3 
ightarrow r^3 = 8 
ightarrow r=2$.
Dalam kasus ini, pertambahan tahun 2017 adalah $40 	imes r^2 = 40 	imes 2^2 = 40 	imes 4 = 160$. 
Atau jika tahun 2014 pertambahannya 40 orang, $40 = 5 	imes r^2 
ightarrow r^2 = 8$. $U_{2017} = U_{2014} 	imes r^3 = 40 	imes r^2 	imes r = 40 	imes 8 	imes \sqrt{8} = 320 	imes 2 \sqrt{2} = 640 \sqrt{2}$.

Dengan asumsi soal benar dan $r^3=16$, maka pertambahan penduduk pada tahun 2017 adalah $320 \sqrt[3]{4}$ orang.