Rasionalkan bentuk-bentuk akar berikut. (32

8 * (2^(1/3)) * (3 - 7^(1/2))

Pembahasan

Untuk merasionalkan bentuk akar \((32 \cdot \sqrt[3]{8/32}) / (\sqrt{7}+3)\), kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Sederhanakan bagian dalam akar kubik.
\(\sqrt[3]{8/32} = \sqrt[3]{1/4}\)

Langkah 2: Hitung nilai akar kubik tersebut.
\(\sqrt[3]{1/4} = 1 / \sqrt[3]{4}\)
Kita bisa menulis \(\sqrt[3]{4}\) sebagai \(\sqrt[3]{2^2}\). Untuk merasionalkannya, kita perlu mengalikan dengan \(\sqrt[3]{2}\) agar penyebutnya menjadi \(\sqrt[3]{2^3} = 2\).
\(1 / \sqrt[3]{4} = (1 \cdot \sqrt[3]{2}) / (\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2} / \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2} / 2\)

Langkah 3: Substitusikan kembali ke dalam ekspresi awal.
\((32 \cdot (\sqrt[3]{2} / 2)) / (\sqrt{7}+3)\)

Langkah 4: Sederhanakan bagian pembilang.
\((16 \cdot \sqrt[3]{2}) / (\sqrt{7}+3)\)

Langkah 5: Rasionalkan penyebut \((\sqrt{7}+3)\) dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya, yaitu \((\sqrt{7}-3)\).

\(((16 \cdot \sqrt[3]{2}) \cdot (\sqrt{7}-3)) / ((\sqrt{7}+3) \cdot (\sqrt{7}-3))\)

Langkah 6: Hitung penyebut menggunakan selisih kuadrat \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2)\).
\((\sqrt{7})^2 - 3^2 = 7 - 9 = -2\)

Langkah 7: Substitusikan penyebut yang sudah dirasionalkan ke dalam ekspresi.
\(((16 \cdot \sqrt[3]{2}) \cdot (\sqrt{7}-3)) / -2\)

Langkah 8: Sederhanakan ekspresi akhir.
\(-8 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot (\sqrt{7}-3)\)
Atau bisa ditulis sebagai:
\(8 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot (3-\sqrt{7})\)

Jadi, bentuk akar yang dirasionalkan adalah \(8 \sqrt[3]{2} (3-\sqrt{7})\).