Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a.

a. $5\sqrt{11} + 10\sqrt{2}$ b. $4 + \sqrt{15}$

Pembahasan

Untuk merasionalkan penyebut pecahan:

a. $\frac{15}{\sqrt{11} - \sqrt{8}}$
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu $\sqrt{11} + \sqrt{8}$:

$\frac{15}{\sqrt{11} - \sqrt{8}} \times \frac{\sqrt{11} + \sqrt{8}}{\sqrt{11} + \sqrt{8}} = \frac{15(\sqrt{11} + \sqrt{8})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{8})^2}$

$= \frac{15(\sqrt{11} + \sqrt{8})}{11 - 8}$

$= \frac{15(\sqrt{11} + \sqrt{8})}{3}$

$= 5(\sqrt{11} + \sqrt{8})$

Kita bisa menyederhanakan $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$.

Maka, hasilnya adalah $5(\sqrt{11} + 2\sqrt{2}) = 5\sqrt{11} + 10\sqrt{2}$.

b. $\frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{5} - 2\sqrt{3}}$
Kita bisa memfaktorkan 2 dari pembilang dan penyebut terlebih dahulu:

$\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu $\sqrt{5} + \sqrt{3}$:

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{(\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2}{5 - 3}$

$= \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2}$

$= \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}$

$= 4 + \sqrt{15}$.

Jadi, hasil rasionalisasi penyebutnya adalah a. $5\sqrt{11} + 10\sqrt{2}$ dan b. $4 + \sqrt{15}$.