Rumus ke-n dari barisan bilangan 0, 3, 8, 15,... adalah...

Rumus suku ke-n adalah Un = n² - 1.

Pembahasan

Untuk menemukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan 0, 3, 8, 15, ..., kita perlu mengidentifikasi pola dari barisan tersebut.

Mari kita perhatikan selisih antara suku-suku yang berdekatan:
Suku ke-2 - Suku ke-1 = 3 - 0 = 3
Suku ke-3 - Suku ke-2 = 8 - 3 = 5
Suku ke-4 - Suku ke-3 = 15 - 8 = 7

Selisihnya adalah 3, 5, 7, ... Ini adalah barisan aritmetika dengan beda 2.
Karena selisih tingkat pertama (3, 5, 7) adalah barisan aritmetika, maka rumus suku ke-n adalah polinomial berderajat 2, yaitu dalam bentuk Un = an² + bn + c.

Kita bisa gunakan beberapa suku pertama untuk membentuk sistem persamaan:
Untuk n=1, U1 = a(1)² + b(1) + c = a + b + c = 0
Untuk n=2, U2 = a(2)² + b(2) + c = 4a + 2b + c = 3
Untuk n=3, U3 = a(3)² + b(3) + c = 9a + 3b + c = 8

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan ini:
Kurangkan persamaan (1) dari (2): (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 3 - 0 => 3a + b = 3 (Persamaan 4)
Kurangkan persamaan (2) dari (3): (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 8 - 3 => 5a + b = 5 (Persamaan 5)

Kurangkan persamaan (4) dari (5): (5a + b) - (3a + b) = 5 - 3 => 2a = 2 => a = 1

Substitusikan a = 1 ke Persamaan 4:
3(1) + b = 3 => 3 + b = 3 => b = 0

Substitusikan a = 1 dan b = 0 ke Persamaan 1:
1 + 0 + c = 0 => c = -1

Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = 1n² + 0n - 1 = n² - 1.

Mari kita cek:
Untuk n=1: U1 = 1² - 1 = 1 - 1 = 0
Untuk n=2: U2 = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
Untuk n=3: U3 = 3² - 1 = 9 - 1 = 8
Untuk n=4: U4 = 4² - 1 = 16 - 1 = 15

Rumus ini sesuai dengan barisan yang diberikan.