Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan

$\left[-\frac{2}{\sqrt{3}}, -1\right] \cup \left[1, \frac{2}{\sqrt{3}}\right]$

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan $\sqrt{x^2} \ge 2\sqrt{x^2-1}$.
Pertama, kita tahu bahwa $\sqrt{x^2} = |x|$.
Jadi, pertidaksamaan menjadi $|x| \ge 2\sqrt{x^2-1}$.

Agar akar kuadrat terdefinisi, kita harus memiliki $x^2 - 1 \ge 0$, yang berarti $x^2 \ge 1$. Ini berlaku jika $x \le -1$ atau $x \ge 1$.

Karena kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif (nilai absolut dan akar kuadrat), kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
$|x|^2 \ge (2\sqrt{x^2-1})^2$
$x^2 \ge 4(x^2-1)$
$x^2 \ge 4x^2 - 4$

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$0 \ge 4x^2 - x^2 - 4$
$0 \ge 3x^2 - 4$
$4 \ge 3x^2$
$x^2 \le \frac{4}{3}$

Ini berarti $-\sqrt{\frac{4}{3}} \le x \le \sqrt{\frac{4}{3}}$
$-\frac{2}{\sqrt{3}} \le x \le \frac{2}{\sqrt{3}}$

Sekarang kita harus menggabungkan hasil ini dengan syarat domain $x \le -1$ atau $x \ge 1$.
Nilai $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \frac{2}{1.732} \approx 1.1547$.
Nilai $-\frac{2}{\sqrt{3}} \approx -1.1547$.

Jadi, kita mencari irisan dari ($-\frac{2}{\sqrt{3}} \le x \le \frac{2}{\sqrt{3}}$) dan ($x \le -1$ atau $x \ge 1$).

Irisannya adalah: $-\frac{2}{\sqrt{3}} \le x \le -1$ atau $1 \le x \le \frac{2}{\sqrt{3}}$

Penyelesaiannya adalah interval $[-\frac{2}{\sqrt{3}}, -1] \cup [1, \frac{2}{\sqrt{3}}]$.