Seorang petani menghadapi suatu masalah sebagai berikut.

Model matematika: Minimalkan Z = 600.000x + 400.000y dengan kendala 3x+y>=27, x+y>=21, x+2y>=30, x>=0, y>=0. Pengeluaran minimum adalah Rp9.000.000,00.

Pembahasan

Ini adalah masalah program linear.

**1. Mendefinisikan Variabel Keputusan:**
Misalkan:
x = jumlah kilogram makanan jenis I yang dibeli.
y = jumlah kilogram makanan jenis II yang dibeli.

**2. Mendefinisikan Fungsi Tujuan:**
Petani ingin meminimalkan biaya. Biaya total (Z) adalah:
Z = 600.000x + 400.000y

**3. Mendefinisikan Kendala:**
Setiap sapi memerlukan nutrisi minimum sebagai berikut:
Paling sedikit 27 satuan P.
Paling sedikit 21 satuan Q.
Paling sedikit 30 satuan R.

Kendala berdasarkan kandungan nutrisi:
*   **Nutrisi P:** Makanan I mengandung 3 satuan P/kg, Makanan II mengandung 1 satuan P/kg. Total P harus ≥ 27.
    $3x + y \ge 27$
*   **Nutrisi Q:** Makanan I mengandung 1 satuan Q/kg, Makanan II mengandung 1 satuan Q/kg. Total Q harus ≥ 21.
    $x + y \ge 21$
*   **Nutrisi R:** Makanan I mengandung 1 satuan R/kg, Makanan II mengandung 2 satuan R/kg. Total R harus ≥ 30.
    $x + 2y \ge 30$

Selain itu, jumlah makanan yang dibeli tidak boleh negatif:
*   $x \ge 0$
*   $y \ge 0$

**Model Matematika:**
Minimalkan Z = 600.000x + 400.000y
Dengan kendala:
$3x + y \ge 27$
$x + y \ge 21$
$x + 2y \ge 30$
$x \ge 0$
$y \ge 0$

**Menentukan Besar Pengeluaran Minimum:**
Untuk menemukan pengeluaran minimum, kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan ini secara grafis atau menggunakan metode simpleks untuk mencari titik-titik pojok dari daerah layak dan mengevaluasi fungsi tujuan pada titik-titik tersebut.

Titik-titik potong potensial dari garis kendala:
1.  $3x + y = 27$ dan $x + y = 21$
    Kurangkan persamaan kedua dari pertama: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Substitusi ke $x+y=21$: $3+y=21 \Rightarrow y=18$. Titik: (3, 18).
2.  $3x + y = 27$ dan $x + 2y = 30$
    Kalikan persamaan pertama dengan 2: $6x + 2y = 54$. Kurangkan $x+2y=30$: $5x = 24 \Rightarrow x = 4.8$. Substitusi ke $3x+y=27$: $3(4.8)+y=27 \Rightarrow 14.4+y=27 \Rightarrow y=12.6$. Titik: (4.8, 12.6).
3.  $x + y = 21$ dan $x + 2y = 30$
    Kurangkan persamaan pertama dari kedua: $y = 9$. Substitusi ke $x+y=21$: $x+9=21 \Rightarrow x=12$. Titik: (12, 9).

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan Z = 600.000x + 400.000y di titik-titik pojok yang memenuhi semua kendala:
*   Titik (3, 18): $3(3)+18=27\ge 27$, $3+18=21\ge 21$, $3+2(18)=3+36=39\ge 30$. Titik layak.
    Z = 600.000(3) + 400.000(18) = 1.800.000 + 7.200.000 = Rp9.000.000,00
*   Titik (4.8, 12.6): $3(4.8)+12.6=14.4+12.6=27\ge 27$, $4.8+12.6=17.4\not\ge 21$. Titik ini tidak layak karena tidak memenuhi kendala nutrisi Q.
*   Titik (12, 9): $3(12)+9=36+9=45\ge 27$, $12+9=21\ge 21$, $12+2(9)=12+18=30\ge 30$. Titik layak.
    Z = 600.000(12) + 400.000(9) = 7.200.000 + 3.600.000 = Rp10.800.000,00

Perlu juga memeriksa titik potong dengan sumbu jika relevan, tetapi dalam kasus ini, titik potong dengan sumbu x dan y dari masing-masing garis kendala (jika positif) tidak akan menjadi solusi optimal karena kita mencari kombinasi kedua makanan.

Kita harus memeriksa titik lain yang mungkin menjadi pojok, seperti titik di mana kendala $x=0$ atau $y=0$ berpotongan dengan garis lain. Namun, karena semua kendala membutuhkan 'paling sedikit', daerah layak cenderung terbuka ke atas dan ke kanan, dan minimum biasanya terjadi pada titik potong kendala.

Berdasarkan perhitungan di atas, nilai minimum terjadi pada titik (3, 18).

Besar pengeluaran petani tersebut adalah Rp9.000.000,00 dengan membeli 3 kg makanan jenis I dan 18 kg makanan jenis II.