Seorang petani menghadapi suatu masalah sebagai berikut.
Pertanyaan
Seorang petani menghadapi suatu masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27, 21,dan 30 satuan unsur nutrisi berturut-turut jenis P, Q, dan R setiap harinya. Dua jenis makanan I dan II diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg jenis makanan I mengandung unsur nutrisi jenis P, Q, dan R berturut-turut sebesar 3, 1, dan 1 satuan Sementara itu, satu kg jenis makanan II mengandung unsur nutrisi jenis P, Q, dan R berturut- turut sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Harga satu kg jenis makanan I dan I berturut-turut adalah Rp600.000,00 dan Rp400.000,00. Petani tersebut apakah hanya membeli satu jenis makanan atau harus memutuskan kedua-duanya kemudian mencampurnya, agar petani mengeluarkan biaya seminimum mungkin. Tentukan model matematika dari persoalan tersebut, kemudian tentukan besar pengeluaran petani tersebut.
Solusi
Model matematika: Minimalkan Z = 600.000x + 400.000y dengan kendala 3x+y>=27, x+y>=21, x+2y>=30, x>=0, y>=0. Pengeluaran minimum adalah Rp9.000.000,00.
Pembahasan
Ini adalah masalah program linear. **1. Mendefinisikan Variabel Keputusan:** Misalkan: x = jumlah kilogram makanan jenis I yang dibeli. y = jumlah kilogram makanan jenis II yang dibeli. **2. Mendefinisikan Fungsi Tujuan:** Petani ingin meminimalkan biaya. Biaya total (Z) adalah: Z = 600.000x + 400.000y **3. Mendefinisikan Kendala:** Setiap sapi memerlukan nutrisi minimum sebagai berikut: Paling sedikit 27 satuan P. Paling sedikit 21 satuan Q. Paling sedikit 30 satuan R. Kendala berdasarkan kandungan nutrisi: * **Nutrisi P:** Makanan I mengandung 3 satuan P/kg, Makanan II mengandung 1 satuan P/kg. Total P harus ≥ 27. $3x + y \ge 27$ * **Nutrisi Q:** Makanan I mengandung 1 satuan Q/kg, Makanan II mengandung 1 satuan Q/kg. Total Q harus ≥ 21. $x + y \ge 21$ * **Nutrisi R:** Makanan I mengandung 1 satuan R/kg, Makanan II mengandung 2 satuan R/kg. Total R harus ≥ 30. $x + 2y \ge 30$ Selain itu, jumlah makanan yang dibeli tidak boleh negatif: * $x \ge 0$ * $y \ge 0$ **Model Matematika:** Minimalkan Z = 600.000x + 400.000y Dengan kendala: $3x + y \ge 27$ $x + y \ge 21$ $x + 2y \ge 30$ $x \ge 0$ $y \ge 0$ **Menentukan Besar Pengeluaran Minimum:** Untuk menemukan pengeluaran minimum, kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan ini secara grafis atau menggunakan metode simpleks untuk mencari titik-titik pojok dari daerah layak dan mengevaluasi fungsi tujuan pada titik-titik tersebut. Titik-titik potong potensial dari garis kendala: 1. $3x + y = 27$ dan $x + y = 21$ Kurangkan persamaan kedua dari pertama: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Substitusi ke $x+y=21$: $3+y=21 \Rightarrow y=18$. Titik: (3, 18). 2. $3x + y = 27$ dan $x + 2y = 30$ Kalikan persamaan pertama dengan 2: $6x + 2y = 54$. Kurangkan $x+2y=30$: $5x = 24 \Rightarrow x = 4.8$. Substitusi ke $3x+y=27$: $3(4.8)+y=27 \Rightarrow 14.4+y=27 \Rightarrow y=12.6$. Titik: (4.8, 12.6). 3. $x + y = 21$ dan $x + 2y = 30$ Kurangkan persamaan pertama dari kedua: $y = 9$. Substitusi ke $x+y=21$: $x+9=21 \Rightarrow x=12$. Titik: (12, 9). Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan Z = 600.000x + 400.000y di titik-titik pojok yang memenuhi semua kendala: * Titik (3, 18): $3(3)+18=27\ge 27$, $3+18=21\ge 21$, $3+2(18)=3+36=39\ge 30$. Titik layak. Z = 600.000(3) + 400.000(18) = 1.800.000 + 7.200.000 = Rp9.000.000,00 * Titik (4.8, 12.6): $3(4.8)+12.6=14.4+12.6=27\ge 27$, $4.8+12.6=17.4\not\ge 21$. Titik ini tidak layak karena tidak memenuhi kendala nutrisi Q. * Titik (12, 9): $3(12)+9=36+9=45\ge 27$, $12+9=21\ge 21$, $12+2(9)=12+18=30\ge 30$. Titik layak. Z = 600.000(12) + 400.000(9) = 7.200.000 + 3.600.000 = Rp10.800.000,00 Perlu juga memeriksa titik potong dengan sumbu jika relevan, tetapi dalam kasus ini, titik potong dengan sumbu x dan y dari masing-masing garis kendala (jika positif) tidak akan menjadi solusi optimal karena kita mencari kombinasi kedua makanan. Kita harus memeriksa titik lain yang mungkin menjadi pojok, seperti titik di mana kendala $x=0$ atau $y=0$ berpotongan dengan garis lain. Namun, karena semua kendala membutuhkan 'paling sedikit', daerah layak cenderung terbuka ke atas dan ke kanan, dan minimum biasanya terjadi pada titik potong kendala. Berdasarkan perhitungan di atas, nilai minimum terjadi pada titik (3, 18). Besar pengeluaran petani tersebut adalah Rp9.000.000,00 dengan membeli 3 kg makanan jenis I dan 18 kg makanan jenis II.
Buka akses pembahasan jawaban