Salah satu faktor suku banyak P(x)=x^4-15x^2-10x+n adalah

(x-1), (x-4), dan (x+3)

Pembahasan

Diberikan suku banyak P(x) = x⁴ - 15x² - 10x + n.
Diketahui bahwa (x+2) adalah salah satu faktornya.

Jika (x+2) adalah faktor, maka P(-2) = 0.
Substitusikan x = -2 ke dalam P(x):
P(-2) = (-2)⁴ - 15(-2)² - 10(-2) + n
P(-2) = 16 - 15(4) + 20 + n
P(-2) = 16 - 60 + 20 + n
P(-2) = -44 + 20 + n
P(-2) = -24 + n

Karena P(-2) = 0, maka:
-24 + n = 0
n = 24

Jadi, suku banyak tersebut adalah P(x) = x⁴ - 15x² - 10x + 24.

Sekarang kita perlu mencari faktor lainnya. Kita dapat menggunakan pembagian polinomial (sintetis atau bersusun) dengan membagi P(x) dengan (x+2).

Menggunakan pembagian sintetis dengan -2:

   -2 | 1   0   -15   -10   24
      |     -2    4    22  -24
      -----------------------
        1  -2   -11    12    0

Hasil pembagiannya adalah x³ - 2x² - 11x + 12.
Jadi, P(x) = (x+2)(x³ - 2x² - 11x + 12).

Sekarang kita perlu mencari faktor dari Q(x) = x³ - 2x² - 11x + 12.
Kita bisa mencoba mencari akar rasional menggunakan Teorema Akar Rasional, yaitu membagi konstanta (12) dengan koefisien utama (1). Faktor dari 12 adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Coba x = 1:
Q(1) = (1)³ - 2(1)² - 11(1) + 12 = 1 - 2 - 11 + 12 = 0. Jadi, (x-1) adalah faktor.

Bagi Q(x) dengan (x-1) menggunakan pembagian sintetis dengan 1:

    1 | 1   -2   -11   12
      |     1   -1  -12
      -----------------
        1   -1   -12    0

Hasilnya adalah x² - x - 12.
Jadi, Q(x) = (x-1)(x² - x - 12).

Sekarang faktorkan trinomial kuadrat x² - x - 12:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -12 dan jika dijumlahkan hasilnya -1. Bilangan tersebut adalah -4 dan 3.
Jadi, x² - x - 12 = (x-4)(x+3).

Maka, P(x) = (x+2)(x-1)(x-4)(x+3).

Faktor-faktor lainnya adalah (x-1), (x-4), dan (x+3).