Sebuah hiperbola memiliki pusat (0, 0), asimtot y = 4x/3,

\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)

Pembahasan

Persamaan hiperbola dengan pusat (0, 0) dan fokus \((c, 0)\) atau \((0, c)\) adalah \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) atau \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\). Asimtotnya diberikan oleh \(y = \pm \frac{b}{a}x\) atau \(y = \pm \frac{a}{b}x\). Dalam kasus ini, pusatnya adalah (0, 0) dan fokusnya adalah (5, 0), yang berarti fokus terletak pada sumbu x. Jadi, persamaan hiperbolanya adalah \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\). Hubungan antara \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah \(c^2 = a^2 + b^2\). Kita tahu \(c = 5\), jadi \(25 = a^2 + b^2\). Asimtotnya adalah \(y = \pm \frac{4}{3}x\). Karena fokus berada pada sumbu x, maka \(y = \pm \frac{b}{a}x\). Jadi, \(\frac{b}{a} = \frac{4}{3}\), yang berarti \(b = \frac{4}{3}a\). Substitusikan nilai \(b\) ke dalam persamaan \(c^2 = a^2 + b^2\): \(25 = a^2 + (\frac{4}{3}a)^2\) \(25 = a^2 + \frac{16}{9}a^2\) \(25 = \frac{9a^2 + 16a^2}{9}\) \(25 = \frac{25a^2}{9}\) \(a^2 = 9\), sehingga \(a = 3\). Sekarang kita cari \(b^2\): \(b = \frac{4}{3}a = \frac{4}{3}(3) = 4\). Maka \(b^2 = 16\). Persamaan hiperbolanya adalah \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\).