Sebuah jembatan akan dibangun di atas danau kecil dari A ke

Sekitar 83.06 meter

Pembahasan

Soal ini melibatkan penggunaan aturan sinus dalam navigasi untuk menentukan jarak antara dua titik (A dan B) berdasarkan jurusan tiga angka (bearing) dari beberapa titik.

Diketahui:
- Jurusan tiga angka dari A ke B adalah 221 derajat.
- Jarak AC = 100 m.
- Jurusan tiga angka dari C ke A adalah 106 derajat.
- Jurusan tiga angka dari C ke B adalah 152 derajat.

Langkah 1: Visualisasikan dan hitung sudut-sudut dalam segitiga ABC.
Jurusan tiga angka adalah sudut yang diukur searah jarum jam dari Utara.

- Jurusan dari A ke B = 221 derajat. Ini berarti sudut yang dibentuk oleh garis Utara di A dan garis AB adalah 221 derajat.
- Jurusan dari C ke A = 106 derajat. Sudut Utara di C ke CA adalah 106 derajat.
- Jurusan dari C ke B = 152 derajat. Sudut Utara di C ke CB adalah 152 derajat.

Untuk mencari sudut di C dalam segitiga ABC (sudut ACB), kita perlu mempertimbangkan arah relatif. Jurusan dari C ke A adalah 106 derajat. Maka, jurusan dari A ke C adalah 106 + 180 = 286 derajat (jika kita menambahkan 180 untuk arah berlawanan). Namun, lebih mudah menggunakan sudut dalam segitiga.

Sudut yang dibentuk oleh garis Utara di C dan garis CA adalah 106 derajat. Sudut yang dibentuk oleh garis Utara di C dan garis CB adalah 152 derajat.
Sudut ACB = Sudut(Utara_C ke CB) - Sudut(Utara_C ke CA) = 152 - 106 = 46 derajat.

Sekarang kita perlu mencari sudut di A (sudut CAB). Jurusan dari A ke B adalah 221 derajat. Jurusan dari C ke A adalah 106 derajat. Sudut antara garis Utara di C dan garis CA adalah 106 derajat. Sudut antara garis Utara di A dan garis AC adalah 106 + 180 = 286 derajat, atau kita bisa melihat sudut internalnya. Garis Utara di A dan garis Utara di C adalah paralel. Jurusan dari C ke A adalah 106 derajat. Maka, sudut antara garis Utara di A dan garis AC (berlawanan arah) adalah 106 derajat. Sudut antara garis Utara di A dan garis AB adalah 221 derajat. Sudut CAB = |221 - (180 + 106)| atau kita perlu melihat gambar.

Mari kita gunakan sudut dalam segitiga yang lebih sederhana. Jurusan C ke A adalah 106. Ini berarti sudut antara Utara di C dan CA adalah 106. Jurusan A ke C adalah 106+180 = 286 (atau 286-360 = -74, atau 360-74 = 286). Jurusan dari A ke C adalah 286. Sudut di dalam segitiga di A, yaitu sudut CAB. Jurusan A ke B adalah 221. Sudut antara Utara di A dan garis AB adalah 221. Sudut antara Utara di A dan garis AC adalah sudut yang berlawanan dari jurusan C ke A, yaitu 180 + 106 = 286, atau 360 - (180-106) = 360-74 = 286. Ini tidak benar.

Mari kita gunakan properti garis paralel (Utara di A dan Utara di C). Jurusan C ke A adalah 106. Sudut antara Utara di A dan garis AC adalah 180 - 106 = 74 derajat (sudut sekutu dalam). Jadi sudut BAC (atau CAB) = 74 derajat.

Sudut di C (ACB) = 152 - 106 = 46 derajat.

Sekarang kita punya segitiga ABC dengan:
Sudut CAB = 74 derajat
Sudut ACB = 46 derajat
Sisi AC = 100 m

Sudut ABC = 180 - (Sudut CAB + Sudut ACB) = 180 - (74 + 46) = 180 - 120 = 60 derajat.

Langkah 2: Gunakan Aturan Sinus untuk mencari jarak AB.
Aturan Sinus: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Dalam segitiga ABC:
BC / sin(CAB) = AC / sin(ABC) = AB / sin(ACB)

Kita ingin mencari AB. Kita tahu AC, sudut ABC, dan sudut ACB.
AC / sin(ABC) = AB / sin(ACB)
100 / sin(60) = AB / sin(46)

AB = (100 * sin(46)) / sin(60)

Menghitung nilai sinus:
sin(46) ≈ 0.7193
sin(60) ≈ 0.8660

AB ≈ (100 * 0.7193) / 0.8660
AB ≈ 71.93 / 0.8660
AB ≈ 83.055 m

Jadi, jarak dari A ke B adalah sekitar 83.06 meter.