Sebuah kapal berlayar dari pulau A dengan arah 45 sejauh 40

Jarak kapal dari pulau A adalah 10√61 km.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan penggunaan aturan sinus dalam segitiga.

Kita dapat memvisualisasikan perjalanan kapal sebagai dua vektor. Misalkan titik A adalah titik awal.

Perjalanan pertama: Dari A ke B sejauh 40 km dengan arah 45°. Ini berarti sudut yang dibentuk dengan arah utara adalah 45°.

Perjalanan kedua: Dari B ke C sejauh 50 km dengan arah 105°. Ini berarti sudut yang dibentuk dengan arah utara adalah 105°.

Kita perlu mencari jarak AC.

Untuk menggunakan aturan sinus, kita perlu membentuk segitiga ABC. Kita perlu mencari panjang sisi AB, BC, dan besar sudut di B (sudut ABC).

Panjang AB = 40 km.
Panjang BC = 50 km.

Untuk mencari sudut ABC, kita perlu mempertimbangkan arah. Dari B, arah kapal sebelumnya adalah 45°. Arah baru adalah 105°.

Jika kita menarik garis utara-selatan di B, sudut antara arah sebelumnya (45°) dan arah utara adalah 45°. Sudut antara arah baru (105°) dan arah utara adalah 105°.

Sudut antara garis arah utara di B dan arah 45° adalah 45°.
Sudut antara garis arah utara di B dan arah 105° adalah 105°.

Sudut dalam segitiga di B (sudut ABC) adalah sudut antara garis BA dan garis BC.
Jika kita melihat dari B, arah ke A adalah 45° + 180° = 225° (jika diukur dari utara). Atau, kita bisa melihat sudut yang dibentuk oleh garis arah 45° dengan garis arah 105°.

Sudut yang dibentuk oleh garis arah 45° dengan garis horizontal (timur) adalah 45° - 90° = -45° atau 315°.
Sudut yang dibentuk oleh garis arah 105° dengan garis horizontal (timur) adalah 105° - 90° = 15°.

Alternatif lain:
Bayangkan garis utara-selatan melalui B. Arah ke A dari B adalah 180° + 45° = 225° (atau 45° dari selatan). Atau, kita bisa menggunakan sudut komplementer. Jika arah dari A ke B adalah 45°, maka arah dari B ke A adalah 45° + 180° = 225°.

Sudut antara arah utara di B dan arah datang dari A adalah 180° - 45° = 135° (sudut dalam). Atau lebih mudah, sudut yang dibentuk oleh perpanjangan garis AB ke belakang (arah 45°+180°) dan arah 105°.

Sudut antara arah 45° dan arah 105° adalah 105° - 45° = 60° jika keduanya diukur dari arah yang sama. Namun, ini adalah sudut luar.

Mari kita gunakan cara berikut:
Arah 45° berarti sudut 45° dari Utara ke Timur.
Arah 105° berarti sudut 105° dari Utara ke Timur.

Di titik B, arah dari A adalah 45° + 180° = 225°.
Sudut yang dibentuk oleh arah Utara di B dengan garis BA adalah 225° - 180° = 45° (ke arah barat dari garis selatan). Atau, sudut antara garis Utara di B dan garis BA adalah 180° - 45° = 135° (sudut tumpul ke arah kiri).

Sudut antara garis Utara di B dan garis BC adalah 105°.

Sudut dalam segitiga di B (sudut ABC) adalah sudut antara garis BA dan garis BC. Ini adalah 180° - (sudut antara Utara di B dan BA) - (sudut antara Utara di B dan BC) jika mereka berada di sisi yang berlawanan dari Utara. Atau, kita bisa melihat sudut yang dibentuk oleh arah 225° dan arah 105°.

Sudut yang dibentuk oleh arah 45° dan arah 105° adalah 105° - 45° = 60° (sudut lancip antara kedua arah tersebut jika titiknya sama). Namun, ini bukan sudut dalam segitiga.

Perhatikan sudut di B. Arah dari A ke B adalah 45°. Ini berarti sudut terhadap Utara adalah 45°. Arah dari B ke C adalah 105°. Ini berarti sudut terhadap Utara adalah 105°.

Pada titik B, kita dapat menarik garis Utara. Sudut antara garis Utara dan garis BA adalah 180° - 45° = 135° (jika diukur dari arah Utara ke arah barat). Atau, kita dapat mengatakan bahwa arah dari B ke A adalah 225°.

Sudut antara garis arah utara di B dan arah kapal ke C (105°) adalah 105°.
Sudut antara garis arah utara di B dan arah kapal dari A (yang berarti arah dari B ke A adalah 225°).

Sudut dalam segitiga ABC di B adalah sudut antara vektor BA dan vektor BC.
Arah BA adalah 225°.
Arah BC adalah 105°.

Perbedaan sudut adalah 225° - 105° = 120°. Namun, ini adalah sudut jika diukur dari arah yang sama.

Cara lain:
Pada titik B, tarik garis Utara. Sudut yang dibentuk oleh garis Utara dengan garis AB adalah 45° (antara Utara dan AB). Sudut yang dibentuk oleh garis Utara dengan BC adalah 105°.

Karena arah dari A ke B adalah 45°, maka arah dari B ke A adalah 45° + 180° = 225°.

Sudut yang dibentuk oleh garis Utara di B dengan garis BA adalah 225° - 180° = 45° (mengarah ke Barat). Atau, sudut yang dibentuk oleh garis Selatan di B dengan garis BA adalah 45°.

Sudut antara garis Utara di B dan garis BC adalah 105°.

Sudut dalam segitiga di B (sudut ABC) adalah sudut antara garis BA dan garis BC. Sudut ini dapat dihitung sebagai 180° - (sudut antara Utara dan BA) - (sudut antara Utara dan BC), jika BA dan BC berada di sisi yang berlawanan dari garis Utara.

Sudut yang dibentuk oleh garis Utara di B dan garis BA adalah 180° - 45° = 135° (ke arah barat dari Utara). Atau, sudut antara garis Selatan di B dan BA adalah 45°.

Sudut antara garis Utara di B dan garis BC adalah 105°.

Sudut ABC = 180° - (sudut antara Utara dan BC) + (sudut antara Utara dan BA, diukur dari arah yang sama).

Sudut antara garis Utara di B dan garis BA adalah 180° - 45° = 135° (jika diukur dari Utara ke arah barat). Atau, perpanjangan garis AB ke belakang membentuk sudut 45° dengan arah Barat.

Sudut di B adalah sudut antara arah 45° dan 105°. Jika kita menarik garis paralel dengan arah 45° melalui B, maka sudut yang dibentuk dengan arah 105° akan bergantung pada bagaimana sudut-sudut itu diukur.

Mari kita gunakan aturan kosinus pada segitiga ABC, di mana kita perlu mencari sudut B.
Arah AB = 45°.
Arah BC = 105°.

Sudut yang dibentuk oleh garis Utara di B dengan garis AB adalah 45°.
Sudut yang dibentuk oleh garis Utara di B dengan garis BC adalah 105°.

Sudut dalam segitiga di B adalah sudut antara garis BA dan garis BC.
Arah dari B ke A adalah 225°.
Arah dari B ke C adalah 105°.

Sudut ABC = 225° - 105° = 120° (ini adalah perbedaan arah).

Sekarang kita gunakan aturan kosinus untuk mencari jarak AC (sisi b):
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(Sudut ABC)
AC² = 40² + 50² - 2 * 40 * 50 * cos(120°)
AC² = 1600 + 2500 - 4000 * (-1/2)
AC² = 4100 - (-2000)
AC² = 4100 + 2000
AC² = 6100
AC = √6100
AC = 10√61 km