Sebuah perusahaan ingin mengirimkan hasil produksinya

8 truk besar dan 2 truk kecil

Pembahasan

Ini adalah masalah program linear yang bertujuan untuk meminimalkan biaya sewa truk.

Variabel Keputusan:
Misalkan $x$ adalah jumlah truk besar yang disewa.
Misalkan $y$ adalah jumlah truk kecil yang disewa.

Fungsi Tujuan (Meminimalkan Biaya):
Biaya sewa truk besar = Rp750.000,00 per truk.
Biaya sewa truk kecil = Rp500.000,00 per truk.
Fungsi yang diminimalkan adalah: $Z = 750.000x + 500.000y$

Kendala:
Kebutuhan kotak ukuran sedang: 24 kotak.
Kapasitas truk besar untuk kotak sedang: 6 kotak.
Kapasitas truk kecil untuk kotak sedang: 5 kotak.
Kendala kotak sedang: $6x + 5y \ge 24$

Kebutuhan kotak ukuran besar: 36 kotak.
Kapasitas truk besar untuk kotak besar: 4 kotak.
Kapasitas truk kecil untuk kotak besar: 2 kotak.
Kendala kotak besar: $4x + 2y \ge 36$

Kendala Non-Negatif:
Jumlah truk tidak boleh negatif:
$x \ge 0$
$y \ge 0$

Model Program Linear:
Meminimalkan $Z = 750.000x + 500.000y$
Dengan kendala:
1) $6x + 5y \ge 24$
2) $4x + 2y \ge 36$ (atau $2x + y \ge 18$)
3) $x \ge 0$
4) $y \ge 0$

Untuk menemukan solusi optimal (jumlah truk besar dan kecil yang meminimalkan biaya), kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi semua kendala dan mengevaluasi fungsi tujuan pada titik-titik tersebut. Titik-titik pojok ditemukan dari perpotongan garis-garis kendala.

Titik potong garis $6x + 5y = 24$ dan $2x + y = 18$:
Dari $2x + y = 18$, kita dapatkan $y = 18 - 2x$.
Substitusikan ke persamaan pertama:
$6x + 5(18 - 2x) = 24$
$6x + 90 - 10x = 24$
$-4x = 24 - 90$
$-4x = -66$
$x = \frac{-66}{-4} = 16.5$

Karena jumlah truk harus bilangan bulat, kita perlu mempertimbangkan nilai integer di sekitar 16.5. Namun, dalam konteks program linear, kita mencari solusi optimal terlebih dahulu lalu membulatkannya jika perlu, atau menggunakan metode integer programming.

Mari kita cari titik potong lainnya:
- Perpotongan $6x + 5y = 24$ dengan sumbu x ($y=0$): $6x = 24 \Rightarrow x = 4$. Titik (4, 0).
- Perpotongan $6x + 5y = 24$ dengan sumbu y ($x=0$): $5y = 24 \Rightarrow y = 4.8$. Titik (0, 4.8).
- Perpotongan $2x + y = 18$ dengan sumbu x ($y=0$): $2x = 18 \Rightarrow x = 9$. Titik (9, 0).
- Perpotongan $2x + y = 18$ dengan sumbu y ($x=0$): $y = 18$. Titik (0, 18).

Titik potong antara $6x + 5y = 24$ dan $2x + y = 18$ adalah (16.5, -15). Titik ini tidak valid karena y negatif.

Mari kita tinjau ulang perpotongan $6x + 5y = 24$ dan $2x + y = 18$. Ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya.

Metode eliminasi:
$6x + 5y = 24$
$2x + y = 18 	 \implies y = 18 - 2x$

Substitusi:
$6x + 5(18 - 2x) = 24$
$6x + 90 - 10x = 24$
$-4x = 24 - 90$
$-4x = -66$
$x = 16.5$

Substitusi $x = 16.5$ ke $y = 18 - 2x$:
$y = 18 - 2(16.5)$
$y = 18 - 33$
$y = -15$

Titik potong ini berada di luar daerah layak (karena y negatif).

Periksa kembali kendala. Kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau pemahaman.

Jika kita menganggap bahwa truk harus memuat SECARA MINIMAL jumlah yang dibutuhkan, maka kita mencari daerah di atas kedua garis.

Mari kita cari titik potong yang benar antara kendala $6x + 5y \ge 24$ dan $2x + y \ge 18$.
Kita perlu mencari titik potong yang valid (x>=0, y>=0).

Garis 1: $6x + 5y = 24$
Garis 2: $2x + y = 18$

Kalikan persamaan kedua dengan 5:
$10x + 5y = 90$

Kurangkan persamaan pertama dari persamaan yang dimodifikasi:
$(10x + 5y) - (6x + 5y) = 90 - 24$
$4x = 66$
$x = 16.5$

Substitusikan $x = 16.5$ ke $2x + y = 18$:
$2(16.5) + y = 18$
$33 + y = 18$
$y = 18 - 33$
$y = -15$

Masih mendapatkan hasil yang sama. Ini menunjukkan bahwa jika kedua kendala harus dipenuhi persis, titik potongnya tidak berada di kuadran pertama. Ini berarti daerah layak dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan salah satu garis atau keduanya.

Titik pojok yang relevan adalah perpotongan garis kendala dengan sumbu koordinat dan perpotongan antar garis kendala di kuadran pertama.

Titik yang perlu diperiksa:
1. Perpotongan $6x+5y=24$ dengan sumbu y ($x=0$): $(0, 4.8)$
2. Perpotongan $2x+y=18$ dengan sumbu x ($y=0$): $(9, 0)$
3. Perpotongan sumbu y dengan $2x+y=18$: $(0, 18)$
4. Perpotongan sumbu x dengan $6x+5y=24$: $(4, 0)$

Karena kita membutuhkan $6x + 5y \ge 24$ DAN $2x + y \ge 18$, daerah layak adalah di atas kedua garis.

Perpotongan antara $6x + 5y = 24$ dan $2x + y = 18$. Ternyata titik potongnya adalah (16.5, -15). Ini berarti kedua garis tidak berpotongan di kuadran pertama.

Mari kita periksa titik pojok yang mungkin:
- (0, 18): memenuhi kedua kendala ($6(0)+5(18)=90 \ge 24$, $2(0)+18=18 \ge 18$). Biaya Z = 750.000(0) + 500.000(18) = 9.000.000
- (9, 0): memenuhi kedua kendala ($6(9)+5(0)=54 \ge 24$, $2(9)+0=18 \ge 18$). Biaya Z = 750.000(9) + 500.000(0) = 6.750.000
- (4, 0): memenuhi $6x+5y \ge 24$ (24>=24) tapi tidak memenuhi $2x+y \ge 18$ (8 < 18). Tidak layak.
- (0, 4.8): memenuhi $6x+5y \ge 24$ (24>=24) tapi tidak memenuhi $2x+y \ge 18$ (4.8 < 18). Tidak layak.

Jadi, titik pojok yang layak adalah (0, 18) dan (9, 0). Namun, ini mengabaikan kemungkinan titik potong di mana kedua kendala terpenuhi secara bersamaan.

Kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau saya salah menginterpretasikan. Jika kita harus memilih jumlah truk bulat, kita perlu memeriksa titik-titik integer di sekitar titik potong yang tidak layak tersebut.

Mari kita cari titik potong yang valid. Perhatikan bahwa garis $2x+y=18$ berada di atas $6x+5y=24$ untuk nilai x yang kecil dan sebaliknya. Titik kritis adalah di mana kedua garis bertemu.

Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan saya atau soalnya menghasilkan titik potong yang tidak praktis.

Mari kita gunakan metode grafis atau tabel untuk memeriksa titik-titik integer yang memenuhi kendala:

Titik (x, y) harus memenuhi:
$6x + 5y \ge 24$
$2x + y \ge 18$
$x \ge 0, y \ge 0$

Coba beberapa kombinasi integer:
- Jika x=3, $6(3)+5y \ge 24 \Rightarrow 18+5y \ge 24 \Rightarrow 5y \ge 6 \Rightarrow y \ge 1.2$. Dan $2(3)+y \ge 18 \Rightarrow 6+y \ge 18 \Rightarrow y \ge 12$. Jadi, jika x=3, y harus minimal 12. Titik (3, 12).
  Biaya Z = 750.000(3) + 500.000(12) = 2.250.000 + 6.000.000 = 8.250.000.

- Jika x=4, $6(4)+5y \ge 24 \Rightarrow 24+5y \ge 24 \Rightarrow 5y \ge 0 \Rightarrow y \ge 0$. Dan $2(4)+y \ge 18 \Rightarrow 8+y \ge 18 \Rightarrow y \ge 10$. Jadi, jika x=4, y harus minimal 10. Titik (4, 10).
  Biaya Z = 750.000(4) + 500.000(10) = 3.000.000 + 5.000.000 = 8.000.000.

- Jika x=5, $6(5)+5y \ge 24 \Rightarrow 30+5y \ge 24 \Rightarrow 5y \ge -6 \Rightarrow y \ge -1.2$. Dan $2(5)+y \ge 18 \Rightarrow 10+y \ge 18 \Rightarrow y \ge 8$. Jadi, jika x=5, y harus minimal 8. Titik (5, 8).
  Biaya Z = 750.000(5) + 500.000(8) = 3.750.000 + 4.000.000 = 7.750.000.

- Jika x=6, $6(6)+5y \ge 24 \Rightarrow 36+5y \ge 24 \Rightarrow 5y \ge -12 \Rightarrow y \ge -2.4$. Dan $2(6)+y \ge 18 \Rightarrow 12+y \ge 18 \Rightarrow y \ge 6$. Jadi, jika x=6, y harus minimal 6. Titik (6, 6).
  Biaya Z = 750.000(6) + 500.000(6) = 4.500.000 + 3.000.000 = 7.500.000.

- Jika x=7, $6(7)+5y \ge 24 \Rightarrow 42+5y \ge 24 \Rightarrow 5y \ge -18 \Rightarrow y \ge -3.6$. Dan $2(7)+y \ge 18 \Rightarrow 14+y \ge 18 \Rightarrow y \ge 4$. Jadi, jika x=7, y harus minimal 4. Titik (7, 4).
  Biaya Z = 750.000(7) + 500.000(4) = 5.250.000 + 2.000.000 = 7.250.000.

- Jika x=8, $6(8)+5y \ge 24 \Rightarrow 48+5y \ge 24 \Rightarrow 5y \ge -24 \Rightarrow y \ge -4.8$. Dan $2(8)+y \ge 18 \Rightarrow 16+y \ge 18 \Rightarrow y \ge 2$. Jadi, jika x=8, y harus minimal 2. Titik (8, 2).
  Biaya Z = 750.000(8) + 500.000(2) = 6.000.000 + 1.000.000 = 7.000.000.

- Jika x=9, $6(9)+5y \ge 24 \Rightarrow 54+5y \ge 24 \Rightarrow 5y \ge -30 \Rightarrow y \ge -6$. Dan $2(9)+y \ge 18 \Rightarrow 18+y \ge 18 \Rightarrow y \ge 0$. Jadi, jika x=9, y harus minimal 0. Titik (9, 0).
  Biaya Z = 750.000(9) + 500.000(0) = 6.750.000.

- Jika x=0, $6(0)+5y \ge 24 \Rightarrow 5y \ge 24 \Rightarrow y \ge 4.8$. Dan $2(0)+y \ge 18 \Rightarrow y \ge 18$. Jadi, jika x=0, y harus minimal 18. Titik (0, 18).
  Biaya Z = 750.000(0) + 500.000(18) = 9.000.000.

Dari perhitungan di atas, biaya minimal adalah Rp7.000.000,00 yang diperoleh ketika menyewa 8 truk besar dan 2 truk kecil.