Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang setiap bulan

100 unit.

Pembahasan

Untuk mencari banyak barang yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum, kita perlu mencari nilai $x$ yang memaksimalkan fungsi keuntungan. Keuntungan ($K(x)$) adalah selisih antara total pendapatan (Hasil Penjualan) dan total biaya produksi.

Dalam soal ini, biaya produksi diberikan oleh fungsi biaya $B(x) = (25x^2 - 2.000x + 50.000)$ ribu rupiah. Harga jual per unit barang adalah $H(x) = (0,1x^2 - 20x + 4.000)$ ribu rupiah. Namun, $H(x)$ di sini tampaknya adalah fungsi harga jual rata-rata atau fungsi penerimaan total jika dikalikan $x$. Jika kita asumsikan $H(x)$ adalah harga jual per unit, maka total pendapatan $P(x) = x 	imes H(x)$. Jika $H(x)$ sudah merupakan pendapatan total, maka kita gunakan langsung.

Mari kita asumsikan $H(x)$ adalah fungsi harga jual per unit, maka total pendapatan $P(x) = x 	imes H(x) = x(0,1x^2 - 20x + 4.000) = 0,1x^3 - 20x^2 + 4.000x$.

Keuntungan $K(x) = P(x) - B(x)$
$K(x) = (0,1x^3 - 20x^2 + 4.000x) - (25x^2 - 2.000x + 50.000)$
$K(x) = 0,1x^3 - 20x^2 + 4.000x - 25x^2 + 2.000x - 50.000$
$K(x) = 0,1x^3 - 45x^2 + 6.000x - 50.000$

Untuk mencari keuntungan maksimum, kita cari turunan pertama dari $K(x)$ dan samakan dengan nol:
$K'(x) = \frac{d}{dx}(0,1x^3 - 45x^2 + 6.000x - 50.000)$
$K'(x) = 0,3x^2 - 90x + 6.000$

Samakan $K'(x) = 0$:
$0,3x^2 - 90x + 6.000 = 0$
Kalikan dengan 10 untuk menghilangkan desimal: $3x^2 - 900x + 60.000 = 0$
Bagi dengan 3: $x^2 - 300x + 20.000 = 0$

Kita bisa faktorkan atau gunakan rumus kuadratik. Mari kita coba faktorkan:
Cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan 20.000 dan jika dijumlahkan menghasilkan -300.
Angka-angka tersebut adalah -200 dan -100.
$(x - 200)(x - 100) = 0$

Maka, $x = 200$ atau $x = 100$.

Untuk memastikan mana yang memberikan keuntungan maksimum, kita gunakan turunan kedua:
$K''(x) = \frac{d}{dx}(0,3x^2 - 90x + 6.000)$
$K''(x) = 0,6x - 90$

Uji $x = 200$:
$K''(200) = 0,6(200) - 90 = 120 - 90 = 30$. Karena $K''(200) > 0$, ini adalah titik minimum.

Uji $x = 100$:
$K''(100) = 0,6(100) - 90 = 60 - 90 = -30$. Karena $K''(100) < 0$, ini adalah titik maksimum.

Jadi, banyak barang yang harus diproduksi setiap bulan agar diperoleh keuntungan maksimum adalah 100 unit.