Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 7 cm. Jarak

7√3 / 3 cm

Pembahasan

Kubus ABCD EFGH memiliki panjang rusuk 7 cm. Kita perlu mencari jarak titik E ke bidang BDG.

Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD dan rusuk BG.
Untuk mencari jarak dari titik E ke bidang BDG, kita dapat menggunakan konsep proyeksi titik ke bidang atau menggunakan rumus jarak titik ke bidang.

Misalkan kita gunakan pendekatan vektor atau geometri analitik.
Titik E dapat kita letakkan pada koordinat (0, 7, 7) jika A=(0,0,0), B=(7,0,0), D=(0,7,0), G=(7,7,7).
Namun, lebih mudah jika kita memposisikan titik E pada (0,0,0). Maka:
E = (0,0,0)
B = (7,0,0)
D = (0,7,0)
G = (7,7,0) (Ini jika EFGH adalah sisi atas, dan ABCD adalah sisi bawah)

Jika ABCD adalah alas dan EFGH adalah sisi atas, maka:
E = (0, 7, 7) (asumsi A=(0,0,0), B=(7,0,0), C=(7,7,0), D=(0,7,0), E=(0,0,7), F=(7,0,7), G=(7,7,7), H=(0,7,7))

Koordinat titik E = (0, 7, 7).
Bidang BDG dibentuk oleh titik B=(7,0,0), D=(0,7,0), G=(7,7,7).

Persamaan bidang yang melalui B, D, G dapat dicari dengan mencari vektor normal bidang tersebut.

Cara yang lebih sederhana adalah mengenali bahwa jarak titik E ke bidang BDG sama dengan jarak titik E ke bidang yang dibentuk oleh B, D, dan titik di bidang alas yang sejajar dengan EG.

Perhatikan bahwa bidang BDG memotong rusuk AE di titik A, rusuk CG di titik C, dan rusuk EH di titik H. Bidang BDG sejajar dengan bidang ACF. Jarak dari E ke bidang BDG sama dengan jarak dari titik E ke bidang ACF.

Dalam kubus, jarak dari salah satu sudut atas (misal E) ke bidang diagonal alas yang berlawanan (BDG) adalah 1/3 dari tinggi kubus jika diproyeksikan tegak lurus pada garis yang menghubungkan titik tengah rusuk alas dengan titik tengah rusuk atas yang sejajar. Namun, ini bukan kasusnya.

Jarak titik E ke bidang BDG sama dengan jarak titik B ke bidang ADH (jika ABCD alas, EFGH atas). Jarak tersebut adalah panjang rusuk kubus.

Alternatif lain, perhatikan bahwa titik E, B, D, G membentuk sebuah tetrahedron.

Mari kita gunakan proyeksi. Jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak dari E ke perpotongan diagonal alas BD dengan diagonal alas AC, yaitu titik O (pusat alas), lalu ke G. Bidang BDG adalah bidang yang melalui B, D, G.

Perhatikan bidang ACGE. Bidang BDG sejajar dengan bidang ACF.
Jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak titik E ke bidang yang melalui B, D, G.

Kita bisa menggunakan teorema Thales atau kesamaan segitiga.

Jika kita mempertimbangkan segitiga siku-siku EBG, jarak dari E ke BG adalah EB = 7.

Perhatikan kubus. Titik E berada di atas bidang ABCD. Bidang BDG memotong kubus.

Jarak titik E ke bidang BDG adalah tinggi tetrahedron EBDG jika alasnya adalah segitiga BDG.

Cara yang lebih mudah:
Bidang BDG memotong rusuk EH di H, EB di B, ED di D. Bidang ini juga memotong rusuk CG di G, rusuk FG di F', rusuk HG di H'.

Jarak titik E ke bidang BDG sama dengan tinggi prisma segitiga EBD-GBH'.

Sebenarnya, jarak titik E ke bidang BDG adalah sama dengan jarak titik A ke bidang BDG, karena simetri.

Perhatikan segitiga GBD. Panjang GB = GD = BD = 7√2. Segitiga GBD adalah segitiga sama sisi.
Luas segitiga GBD = (√3/4) * (7√2)^2 = (√3/4) * 49 * 2 = (√3/2) * 49.

Titik E = (0, 7, 7). Bidang BDG melalui B=(7,0,0), D=(0,7,0), G=(7,7,7).

Persamaan bidang yang melalui B, D, G:
Misalkan persamaan bidang adalah Ax + By + Cz = D.
Substitusi B: 7A = D => A = D/7
Substitusi D: 7B = D => B = D/7
Substitusi G: 7A + 7B + 7C = D => 7(D/7) + 7B + 7C = D => D + 7B + 7C = D => 7B + 7C = 0 => B + C = 0 => C = -B.
Karena B = D/7, maka C = -D/7.

Jadi, persamaan bidangnya adalah (D/7)x + (D/7)y - (D/7)z = D.
Bagi dengan D/7: x + y - z = 7.

Sekarang cari jarak dari titik E=(0,7,7) ke bidang x + y - z - 7 = 0.
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 - D| / √(A² + B² + C²)
Jarak = |1(0) + 1(7) - 1(7) - 7| / √(1² + 1² + (-1)²)
Jarak = |0 + 7 - 7 - 7| / √(1 + 1 + 1)
Jarak = |-7| / √3
Jarak = 7 / √3
Jarak = (7√3) / 3 cm.