Sebuah perusahaan perkapalan memiliki tiga kelompok kapal

Sistem persamaan: 4x1+5x2+2x3=42, 3x1+2x2+2x3=27, 2x1+3x2+3x3=33. Bentuk AX=B, dengan X = [3, 4, 5]ᵀ.

Pembahasan

Untuk soal ini, kita perlu menerjemahkan informasi yang diberikan ke dalam bentuk matriks dan sistem persamaan linear.

Informasi Kapasitas Muatan per Kapal:
        I   II  III
A      (4   3   2)
B      (5   2   3)
C      (2   2   3)

Misalkan x1 = jumlah kapal tipe A, x2 = jumlah kapal tipe B, dan x3 = jumlah kapal tipe C.

a. Menuliskan sistem persamaan:
Perusahaan harus mengirimkan 42 muatan jenis I, 27 muatan jenis II, dan 33 muatan jenis III.

Untuk muatan jenis I:
4x1 + 5x2 + 2x3 = 42

Untuk muatan jenis II:
3x1 + 2x2 + 2x3 = 27

Untuk muatan jenis III:
2x1 + 3x2 + 3x3 = 33

Jadi, sistem persamaannya adalah:
4x1 + 5x2 + 2x3 = 42
3x1 + 2x2 + 2x3 = 27
2x1 + 3x2 + 3x3 = 33

b. Mengubah ke bentuk AX=B dan menentukan penyelesaiannya:
Dalam bentuk matriks AX=B, kita memiliki:
A = [[4, 5, 2],
     [3, 2, 2],
     [2, 3, 3]]

X = [[x1],
     [x2],
     [x3]]

B = [[42],
     [27],
     [33]]

Untuk menentukan penyelesaian X, kita perlu mencari invers dari matriks A (A⁻¹) dan mengalikannya dengan B: X = A⁻¹B.

Pertama, hitung determinan dari A (det(A)):
det(A) = 4(2*3 - 2*3) - 5(3*3 - 2*2) + 2(3*3 - 2*2)
= 4(6 - 6) - 5(9 - 4) + 2(9 - 4)
= 4(0) - 5(5) + 2(5)
= 0 - 25 + 10
= -15

Karena determinan tidak sama dengan nol, invers matriks A ada.

Selanjutnya, kita perlu mencari matriks adjoin dari A. Ini melibatkan pencarian matriks kofaktor terlebih dahulu.

Matriks Minor:
M11 = |2 2| = 6-6=0
      |3 3|
M12 = |3 2| = 9-4=5
      |2 3|
M13 = |3 2| = 9-4=5
      |2 2|
M21 = |5 2| = 15-6=9
      |3 3|
M22 = |4 2| = 12-6=6
      |2 3|
M23 = |4 5| = 12-10=2
      |2 3|
M31 = |5 2| = 10-4=6
      |2 2|
M32 = |4 2| = 8-6=2
      |3 2|
M33 = |4 5| = 8-15=-7
      |3 2|

Matriks Kofaktor (Cij = (-1)^(i+j) * Mij):
C11 = 0
C12 = -5
C13 = 5
C21 = -9
C22 = 6
C23 = -2
C31 = 6
C32 = -2
C33 = -7

Matriks Kofaktor C = [[0, -5, 5],
                   [-9, 6, -2],
                   [6, -2, -7]]

Adjoin(A) = Cᵀ = [[0, -9, 6],
                  [-5, 6, -2],
                  [5, -2, -7]]

Invers(A) = (1/det(A)) * Adjoin(A)
A⁻¹ = (1/-15) * [[0, -9, 6],
                  [-5, 6, -2],
                  [5, -2, -7]]

A⁻¹ = [[0/(-15), -9/(-15), 6/(-15)],
       [-5/(-15), 6/(-15), -2/(-15)],
       [5/(-15), -2/(-15), -7/(-15)]]

A⁻¹ = [[0, 3/5, -2/5],
       [1/3, -2/5, 2/15],
       [-1/3, 2/15, 7/15]]

Sekarang, hitung X = A⁻¹B:
X = [[0, 3/5, -2/5],
     [1/3, -2/5, 2/15],
     [-1/3, 2/15, 7/15]] * [[42],
                                [27],
                                [33]]

x1 = (0 * 42) + (3/5 * 27) + (-2/5 * 33)
   = 0 + 81/5 - 66/5
   = 15/5
   = 3

x2 = (1/3 * 42) + (-2/5 * 27) + (2/15 * 33)
   = 14 - 54/5 + 66/15
   = 14 - 162/15 + 66/15
   = 14 - 96/15
   = 14 - 32/5
   = (70 - 32) / 5
   = 38/5
   = 7.6 (Ini mungkin menunjukkan adanya kesalahan dalam soal atau perhitungan karena jumlah kapal seharusnya bilangan bulat. Mari kita cek ulang.)

Mari kita periksa ulang perhitungan:
x1 = 0 + (81/5) - (66/5) = 15/5 = 3

x2 = 14 - 54/5 + 66/15 = 14 - 162/15 + 66/15 = 14 - 96/15 = 14 - 32/5 = (70-32)/5 = 38/5. Ada kemungkinan kesalahan perhitungan atau soalnya tidak menghasilkan solusi bulat.

Mari kita coba metode lain untuk memastikan.
Namun, berdasarkan perhitungan matriks, hasil sementara adalah x1=3, x2=38/5, x3=?

Mari kita substitusikan x1=3 ke persamaan awal untuk memverifikasi:

Persamaan 1: 4(3) + 5x2 + 2x3 = 42 => 12 + 5x2 + 2x3 = 42 => 5x2 + 2x3 = 30
Persamaan 2: 3(3) + 2x2 + 2x3 = 27 => 9 + 2x2 + 2x3 = 27 => 2x2 + 2x3 = 18 => x2 + x3 = 9
Persamaan 3: 2(3) + 3x2 + 3x3 = 33 => 6 + 3x2 + 3x3 = 33 => 3x2 + 3x3 = 27 => x2 + x3 = 9

Dari Persamaan 2 dan 3, kita mendapatkan x2 + x3 = 9. Ini konsisten.
Sekarang substitusikan x3 = 9 - x2 ke persamaan 5x2 + 2x3 = 30:
5x2 + 2(9 - x2) = 30
5x2 + 18 - 2x2 = 30
3x2 = 12
x2 = 4

Jika x2 = 4, maka x3 = 9 - 4 = 5.

Jadi, solusinya adalah x1 = 3, x2 = 4, x3 = 5.

Mari kita periksa kembali perhitungan matriks A⁻¹B dengan hasil yang ditemukan:

x1 = 0*(42) + (3/5)*(27) + (-2/5)*(33) = 81/5 - 66/5 = 15/5 = 3. (Benar)

x2 = (1/3)*(42) + (-2/5)*(27) + (2/15)*(33) = 14 - 54/5 + 66/15 = 14 - 162/15 + 66/15 = 14 - 96/15 = 14 - 32/5 = (70-32)/5 = 38/5. (Ini masih berbeda. Kemungkinan ada kesalahan dalam perhitungan invers matriks.)

Mari kita hitung ulang invers matriksnya, terutama bagian adjoin.

Adjoin(A) = [[0, -9, 6],
                  [-5, 6, -2],
                  [5, -2, -7]]

A⁻¹ = [[0, 3/5, -2/5],
       [1/3, -2/5, 2/15],
       [-1/3, 2/15, 7/15]]

Mari kita hitung X = A⁻¹B lagi:
x1 = 0(42) + (3/5)(27) + (-2/5)(33) = 81/5 - 66/5 = 15/5 = 3.

x2 = (1/3)(42) + (-2/5)(27) + (2/15)(33) = 14 - 54/5 + 66/15 = 14 - 162/15 + 66/15 = 14 - 96/15 = 14 - 32/5 = (70-32)/5 = 38/5.

x3 = (-1/3)(42) + (2/15)(27) + (7/15)(33) = -14 + 54/15 + 231/15 = -14 + 285/15 = -14 + 19 = 5.

Hasil perhitungan matriks adalah x1=3, x2=38/5, x3=5. Namun, hasil pemeriksaan manual (substitusi) memberikan x1=3, x2=4, x3=5.

Mari kita cek kembali perhitungan determinan dan minor.
Det(A) = -15. (Sudah benar)

Mari kita cek perhitungan invers matriks:
A⁻¹ = [[0, 3/5, -2/5],
       [1/3, -2/5, 2/15],
       [-1/3, 2/15, 7/15]]

Mari kita kalikan A dengan A⁻¹ untuk memastikan:
[[4, 5, 2],
 [3, 2, 2],
 [2, 3, 3]] * [[0, 3/5, -2/5],
                  [1/3, -2/5, 2/15],
                  [-1/3, 2/15, 7/15]]

Baris 1, Kolom 1: 4*0 + 5*(1/3) + 2*(-1/3) = 5/3 - 2/3 = 3/3 = 1. (Benar)
Baris 1, Kolom 2: 4*(3/5) + 5*(-2/5) + 2*(2/15) = 12/5 - 10/5 + 4/15 = 2/5 + 4/15 = 6/15 + 4/15 = 10/15 = 2/3. (Ini seharusnya 0. Ada kesalahan dalam invers matriks.)

Mari kita hitung ulang kofaktor dan adjoin.

Matriks Kofaktor C = [[0, -5, 5],
                   [-9, 6, -2],
                   [6, -2, -7]]

Adjoin(A) = Cᵀ = [[0, -9, 6],
                  [-5, 6, -2],
                  [5, -2, -7]]

Ini sudah benar.

A⁻¹ = (1/-15) * Adjoin(A) = [[0, 3/5, -2/5],
                          [1/3, -2/5, 2/15],
                          [-1/3, 2/15, 7/15]]

Mari kita periksa lagi perkalian A dengan A⁻¹:
Baris 1, Kolom 2:
4*(3/5) + 5*(-2/5) + 2*(2/15) = 12/5 - 10/5 + 4/15 = 2/5 + 4/15 = 6/15 + 4/15 = 10/15 = 2/3. Seharusnya 0. Maka invers matriksnya salah.

Mari kita cari sumber kesalahan dalam perhitungan kofaktor atau adjoin.

M11 = 0, M12 = 5, M13 = 5
M21 = 9, M22 = 6, M23 = 2
M31 = 6, M32 = 2, M33 = -7

C11 = 0, C12 = -5, C13 = 5
C21 = -9, C22 = 6, C23 = -2
C31 = 6, C32 = -2, C33 = -7

Adjoin(A) = [[0, -9, 6],
             [-5, 6, -2],
             [5, -2, -7]]


A⁻¹ = [[0, 9/15, -6/15],
       [5/15, -6/15, 2/15],
       [-5/15, 2/15, 7/15]]

A⁻¹ = [[0, 3/5, -2/5],
       [1/3, -2/5, 2/15],
       [-1/3, 2/15, 7/15]]

Sepertinya perhitungan invers matriks sudah benar, namun hasil perkalian A*A⁻¹ tidak menghasilkan matriks identitas.

Mari kita coba metode penyelesaian sistem persamaan linear secara langsung (eliminasi/substitusi) karena lebih mudah untuk dicek.

Sistem Persamaan:
1) 4x1 + 5x2 + 2x3 = 42
2) 3x1 + 2x2 + 2x3 = 27
3) 2x1 + 3x2 + 3x3 = 33

Kurangi (2) dari (1):
(4x1 + 5x2 + 2x3) - (3x1 + 2x2 + 2x3) = 42 - 27
x1 + 3x2 = 15  => x1 = 15 - 3x2

Substitusikan x1 ke (2) dan (3):
2') 3(15 - 3x2) + 2x2 + 2x3 = 27
   45 - 9x2 + 2x2 + 2x3 = 27
   -7x2 + 2x3 = 27 - 45
   -7x2 + 2x3 = -18

3') 2(15 - 3x2) + 3x2 + 3x3 = 33
   30 - 6x2 + 3x2 + 3x3 = 33
   -3x2 + 3x3 = 33 - 30
   -3x2 + 3x3 = 3
   -x2 + x3 = 1 => x3 = 1 + x2

Sekarang substitusikan x3 ke persamaan -7x2 + 2x3 = -18:
-7x2 + 2(1 + x2) = -18
-7x2 + 2 + 2x2 = -18
-5x2 = -18 - 2
-5x2 = -20
x2 = 4

Sekarang cari x1 dan x3:
x1 = 15 - 3x2 = 15 - 3(4) = 15 - 12 = 3
x3 = 1 + x2 = 1 + 4 = 5

Jadi, penyelesaiannya adalah x1 = 3, x2 = 4, x3 = 5.
Ini sesuai dengan pemeriksaan manual sebelumnya.

Kesimpulan: Terdapat kesalahan dalam perhitungan invers matriks di atas. Metode eliminasi/substitusi lebih mudah diverifikasi untuk soal ini.

a. Sistem persamaan linear dua variabel adalah:
4x1 + 5x2 + 2x3 = 42
3x1 + 2x2 + 2x3 = 27
2x1 + 3x2 + 3x3 = 33

b. Bentuk AX=B adalah:
[[4, 5, 2],
 [3, 2, 2],
 [2, 3, 3]] * [[x1],
                [x2],
                [x3]] = [[42],
                                [27],
                                [33]]
Penyelesaian dari matriks X adalah x1 = 3, x2 = 4, dan x3 = 5.