Sebuah pintu berbentuk seperti gambar. Keliling pintu sama

C. p/(4+pi)

Pembahasan

Pintu berbentuk seperti gambar, dengan keliling p. Kita perlu mencari nilai x agar luas pintu maksimum.
Misalkan lebar pintu adalah x dan tinggi pintu adalah 2x.
Keliling pintu (p) adalah jumlah panjang keempat sisinya. Jika kita menganggap pintu tersebut adalah persegi panjang dengan salah satu sisi adalah x dan sisi lainnya adalah 2x, maka kelilingnya adalah 2(x + 2x) = 2(3x) = 6x. Namun, dari deskripsi gambar yang tidak disertakan, diasumsikan bahwa pintu memiliki bentuk spesifik yang mungkin bukan persegi panjang sederhana. 

Jika kita mengasumsikan gambar pintu adalah seperti pada soal olimpiade sains nasional (OSN) bidang matematika, di mana pintu terdiri dari persegi dan setengah lingkaran di atasnya:
Misalkan sisi persegi adalah x, maka tinggi persegi adalah x, dan lebar persegi adalah x. Lingkaran memiliki diameter x, sehingga jari-jarinya adalah x/2.
Keliling p = x (sisi persegi) + 2x (dua sisi persegi) + keliling setengah lingkaran
p = 3x + (1/2) * 2 * pi * (x/2)
p = 3x + pi*x/2
p = x(3 + pi/2)
x = p / (3 + pi/2)
x = 2p / (6 + pi)

Luas A = Luas persegi + Luas setengah lingkaran
A = x^2 + (1/2) * pi * (x/2)^2
A = x^2 + (1/2) * pi * (x^2/4)
A = x^2 + pi*x^2/8
A = x^2 (1 + pi/8)

Untuk mencari nilai x agar luas maksimum, kita turunkan A terhadap x dan samakan dengan 0:
dA/dx = 2x(1 + pi/8) = 0
Karena x tidak mungkin 0, maka ini tidak memberikan solusi.

Namun, jika soal merujuk pada gambar yang berbeda, misalnya sebuah pintu dengan lebar x dan tinggi 2x (persegi panjang):
Keliling p = 2(x + 2x) = 6x
x = p/6
Luas A = x * 2x = 2x^2
Untuk luas maksimum, kita substitusi x:
A = 2 * (p/6)^2 = 2 * (p^2/36) = p^2/18.
Dalam kasus ini, x = p/6.

Jika kita mengasumsikan soal merujuk pada bentuk lain yang umum dalam optimasi geometri, seperti pintu dengan bagian atas melengkung (setengah lingkaran) di atas persegi:
Misalkan lebar pintu adalah 2x, dan tinggi bagian persegi adalah y. Maka jari-jari setengah lingkaran adalah x.
Keliling p = 2y (sisi tegak persegi) + 2x (alas persegi) + pi*x (setengah lingkaran)
p = 2y + 2x + pi*x
Dari sini, kita bisa ungkapkan y dalam p: 2y = p - 2x - pi*x => y = (p - x(2+pi))/2
Luas A = Luas persegi + Luas setengah lingkaran
A = (2x) * y + (1/2) * pi * x^2
A = (2x) * (p - x(2+pi))/2 + (1/2) * pi * x^2
A = x * (p - 2x - pi*x) + (1/2) * pi * x^2
A = px - 2x^2 - pi*x^2 + (1/2) * pi * x^2
A = px - 2x^2 - (1/2) * pi * x^2
A = px - x^2 (2 + pi/2)
Untuk mencari luas maksimum, turunkan A terhadap x dan samakan dengan 0:
dA/dx = p - 2x(2 + pi/2) = 0
p = 2x(2 + pi/2)
p = x(4 + pi)
x = p / (4 + pi)

Oleh karena itu, jika pintu berbentuk persegi dengan setengah lingkaran di atasnya, di mana lebarnya adalah 2x, maka x = p / (4 + pi) agar luasnya maksimum.