Sebuah plat logam berbentuk persegi sisinya 10 cm. Pada

a. Luas ABCD = -2.5x² + 25x cm². b. Luas maksimum terjadi saat x = 5 cm.

Pembahasan

a. Luas segi empat ABCD dapat dinyatakan dalam x. Diketahui sisi plat logam adalah 10 cm. Dari gambar, panjang sisi AB = 2x cm, BC = (10-x) cm, CD = (10-2x) cm, dan DA = (10-x) cm. Ini tidak membentuk segi empat ABCD yang umum. Namun, jika kita menginterpretasikan bahwa ABCD adalah segi empat di dalam persegi dengan titik P, Q, R, S di sisinya, dan dimensi yang diberikan adalah jarak dari sudut persegi ke titik-titik tersebut, maka untuk mencari luas ABCD, kita perlu mengurangi luas empat segitiga siku-siku di sudut persegi dari luas total persegi. Misalkan persegi tersebut adalah PQRS dengan sisi 10 cm. Terdapat titik A di PQ, B di QR, C di RS, D di SP. Jarak PA = (10-x) cm, maka AQ = x cm. Jarak QB = 2x cm, maka RC = (10-2x) cm. Jarak RC = x cm, maka SC = (10-x) cm. Jarak SD = (10-2x) cm, maka PD = 2x cm. Jika ABCD adalah segi empat di tengah, maka luas ABCD = Luas Persegi PQRS - Luas Segitiga AQB - Luas Segitiga BRC - Luas Segitiga CSD - Luas Segitiga DPA. Luas PQRS = 10 * 10 = 100 cm². Luas AQB = 1/2 * AQ * QB = 1/2 * x * 2x = x² cm². Luas BRC = 1/2 * BR * RC = 1/2 * (10-x) * x = 5x - 1/2x² cm². Luas CSD = 1/2 * CS * SD = 1/2 * (10-x) * (10-2x) = 1/2 * (100 - 20x - 10x + 2x²) = 1/2 * (100 - 30x + 2x²) = 50 - 15x + x² cm². Luas DPA = 1/2 * DP * PA = 1/2 * (10-2x) * (10-x) = 1/2 * (100 - 10x - 20x + 2x²) = 1/2 * (100 - 30x + 2x²) = 50 - 15x + x² cm². Total luas segitiga = x² + (5x - 1/2x²) + (50 - 15x + x²) + (50 - 15x + x²) = x² + 5x - 0.5x² + 50 - 15x + x² + 50 - 15x + x² = 2.5x² - 25x + 100. Luas ABCD = 100 - (2.5x² - 25x + 100) = -2.5x² + 25x. b. Untuk luas maksimum, kita cari turunan pertama dari fungsi luas terhadap x dan samakan dengan nol. d(Luas)/dx = d/dx (-2.5x² + 25x) = -5x + 25. Maka, -5x + 25 = 0 => 5x = 25 => x = 5. Luas maksimum terjadi saat x = 5 cm.