Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis

3 cm

Pembahasan

Diketahui sebuah tabung tanpa tutup memiliki volume (V) sebesar 27π cm³.
Rumus volume tabung adalah V = πr²t, di mana r adalah jari-jari alas dan t adalah tinggi tabung.
Dari informasi volume, kita dapat menyatakan t dalam bentuk r:
27π = πr²t
27 = r²t
t = 27 / r²

Luas permukaan tabung tanpa tutup (L) adalah jumlah luas alas (lingkaran) dan luas selimut tabung:
L = Luas Alas + Luas Selimut
L = πr² + 2πrt

Kita substitusikan nilai t = 27 / r² ke dalam rumus luas permukaan:
L = πr² + 2πr(27 / r²)
L = πr² + 54π / r

Untuk mencari luas permukaan minimum, kita perlu mencari turunan pertama L terhadap r (dL/dr) dan menyamakannya dengan nol.

dL/dr = d/dr (πr² + 54πr⁻¹)
dL/dr = 2πr - 54πr⁻²
dL/dr = 2πr - 54π / r²

Sekarang, kita samakan turunan pertama dengan nol untuk mencari nilai kritis:
2πr - 54π / r² = 0
2πr = 54π / r²
2r = 54 / r²
2r³ = 54
r³ = 27
r = ³√27
r = 3

Untuk memastikan bahwa ini adalah minimum, kita bisa memeriksa turunan kedua. Namun, dalam konteks soal seperti ini, nilai kritis yang ditemukan biasanya merupakan nilai yang memberikan minimum.

Jadi, luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan 3 cm.