Sebuah variabel acak kontinu X yang mengambil nilai antara

Nilai dari $P(X < 3.5)$ adalah 0.703125.

Pembahasan

Kita diberikan fungsi kepekatan peluang (probability density function - pdf) dari variabel acak kontinu X sebagai berikut:
$f(x) = (x + 1)/8$, untuk $2 	ext{ <= } x 	ext{ <= } 4$.
Kita ingin mencari nilai dari $P(X < 3.5)$.

Untuk variabel acak kontinu, peluang bahwa X berada dalam suatu interval dihitung dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang di atas interval tersebut.

Dalam kasus ini, kita perlu menghitung integral dari $f(x)$ dari batas bawah yang relevan hingga 3.5. Batas bawah yang relevan adalah nilai minimum dari X, yaitu 2, karena kita mencari $P(X < 3.5)$ dalam domain $X$ yaitu $2 	ext{ <= } x 	ext{ <= } 4$.

$P(X < 3.5) = 	ext{Integral dari } f(x) 	ext{ dx dari 2 hingga 3.5}$
$P(X < 3.5) = 	ext{Integral dari } ((x + 1)/8) 	ext{ dx dari 2 hingga 3.5}$

Kita bisa menarik konstanta 1/8 keluar dari integral:
$P(X < 3.5) = (1/8) * 	ext{Integral dari } (x + 1) 	ext{ dx dari 2 hingga 3.5}$

Sekarang kita integralkan $(x + 1)$ terhadap x:
Integral dari x dx adalah $(x^2)/2$.
Integral dari 1 dx adalah x.
Jadi, integral dari $(x + 1)$ adalah $(x^2)/2 + x$.

Sekarang kita evaluasi integral ini dari 2 hingga 3.5:
$[(3.5^2)/2 + 3.5] - [(2^2)/2 + 2]$

Hitung nilai di batas atas (3.5):
$(3.5^2)/2 + 3.5 = (12.25)/2 + 3.5 = 6.125 + 3.5 = 9.625$

Hitung nilai di batas bawah (2):
$(2^2)/2 + 2 = 4/2 + 2 = 2 + 2 = 4$

Sekarang kurangkan nilai batas bawah dari nilai batas atas:
$9.625 - 4 = 5.625$

Terakhir, kalikan dengan konstanta 1/8:
$P(X < 3.5) = (1/8) * 5.625$
$P(X < 3.5) = 5.625 / 8 = 0.703125$

Jadi, nilai dari $P(X < 3.5)$ adalah 0.703125.