Sebuah vektor u dengan panjang akar(10) membentuk sudut 45

Vektor u bisa berupa 3i + j atau -i + 3j.

Pembahasan

Untuk menemukan vektor u, kita perlu menggunakan informasi tentang panjang vektor u dan sudut yang dibentuknya dengan vektor v.
Diketahui:
Panjang vektor u, ||u|| = \sqrt{10}
Vektor v = i + 2j = (1, 2)
Sudut antara u dan v, \theta = 45°

Kita tahu bahwa hasil kali titik (dot product) antara dua vektor dapat dihitung dengan dua cara:
1. u · v = ||u|| ||v|| cos(\theta)
2. u · v = u_x v_x + u_y v_y

Pertama, hitung panjang vektor v:
||v|| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

Sekarang, hitung hasil kali titik menggunakan formula pertama:
u · v = ||u|| ||v|| cos(\theta)
u · v = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(45°)
u · v = \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
u · v = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
u · v = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5

Misalkan vektor u = (u_x, u_y). Maka hasil kali titik menurut formula kedua adalah:
u · v = u_x \cdot 1 + u_y \cdot 2 = u_x + 2u_y

Kita tahu bahwa u_x + 2u_y = 5.
Kita juga tahu bahwa panjang vektor u adalah \sqrt{10}:
||u||^2 = u_x^2 + u_y^2 = (\sqrt{10})^2 = 10

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel:
1. u_x + 2u_y = 5  =>  u_x = 5 - 2u_y
2. u_x^2 + u_y^2 = 10

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2):
(5 - 2u_y)^2 + u_y^2 = 10
25 - 20u_y + 4u_y^2 + u_y^2 = 10
5u_y^2 - 20u_y + 25 - 10 = 0
5u_y^2 - 20u_y + 15 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 5:
u_y^2 - 4u_y + 3 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(u_y - 1)(u_y - 3) = 0

Jadi, ada dua kemungkinan nilai untuk u_y:
u_y = 1 atau u_y = 3.

Kasus 1: Jika u_y = 1
Substitusikan u_y = 1 ke dalam u_x = 5 - 2u_y:
u_x = 5 - 2(1) = 5 - 2 = 3
Maka, vektor u = (3, 1) atau u = 3i + j.
Mari kita cek panjangnya: ||u|| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}. Ini sesuai.

Kasus 2: Jika u_y = 3
Substitusikan u_y = 3 ke dalam u_x = 5 - 2u_y:
u_x = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1
Maka, vektor u = (-1, 3) atau u = -i + 3j.
Mari kita cek panjangnya: ||u|| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}. Ini juga sesuai.

Kedua vektor ini memenuhi panjang dan hasil kali titik yang diperlukan. Soal tidak memberikan informasi tambahan untuk memilih salah satu. Namun, jika kita melihat pilihan jawaban umum dalam soal vektor, biasanya akan ada satu jawaban yang sesuai.