Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut: (({ )^(2) log 5+{

Bentuk logaritma tersebut disederhanakan menjadi -1/2.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan bentuk logaritma tersebut, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma:
1. Sifat penjumlahan: log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)
2. Sifat pengurangan: log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)
3. Sifat perpangkatan: log_a(b^n) = n log_a(b)
4. Sifat perubahan basis: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)
5. log_a(a) = 1
6. log_a(1/b) = -log_a(b)

Bentuk yang diberikan adalah:

(^{2}log 5 + ^{3}log 5) \times (^{36}log 0.2) / (^{2}log 5 \times ^{3}log 5)

Mari kita sederhanakan bagian-bagiannya:

Bagian pembilang:
(^{2}log 5 + ^{3}log 5) \times (^{36}log 0.2)

Kita perlu menyamakan basis logaritma. Namun, tanpa informasi tambahan atau konteks, menyederhanakan penjumlahan logaritma dengan basis berbeda seperti $^{2}log 5 + ^{3}log 5$ secara langsung tidak dimungkinkan tanpa mengubah salah satunya ke basis lain atau menggunakan pendekatan numerik.

Mari kita periksa kembali soalnya, mungkin ada kesalahan pengetikan atau ada sifat logaritma yang bisa diterapkan secara cerdik.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini dirancang agar bisa diselesaikan dengan sifat-sifat logaritma standar, kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal.

Namun, jika kita tetap mencoba menyelesaikannya seperti adanya:

Mari kita ubah $^{36}log 0.2$ ke basis yang lebih umum, misalnya basis 10 atau basis 6.
$0.2 = 1/5 = 5^{-1}$
$^{36}log 0.2 = ^{36}log (5^{-1}) = - ^{36}log 5$

Dan $^{36}log 5$. Kita bisa gunakan perubahan basis:
$^{36}log 5 = \frac{log 5}{log 36} = \frac{log 5}{log (6^2)} = \frac{log 5}{2 log 6}$

Jadi, bagian pembilang menjadi:
$(^{2}log 5 + ^{3}log 5) \times (-\frac{log 5}{2 log 6})$

Bagian penyebut:
$^{2}log 5 \times ^{3}log 5$

Ini juga merupakan perkalian logaritma dengan basis berbeda.

Jika kita mengasumsikan ada typo dan soalnya seharusnya adalah:

$(\frac{1}{^{5}log 2} + \frac{1}{^{5}log 3}) \times (\frac{1}{^{5}log 36}) / (\frac{1}{^{5}log 2} \times \frac{1}{^{5}log 3})$

Ini akan menjadi:

$(^{2}log 5 + ^{3}log 5) \times (^{5}log 36) / (^{5}log 2 \times ^{5}log 3)$

Ini masih belum menyederhanakan dengan baik.

Mari kita kembali ke soal asli dan coba manipulasi lain.

Perhatikan bahwa $^{36}log 0.2 = ^{36}log (1/5) = - ^{36}log 5$.
Kita bisa tulis $^{36}log 5 = \frac{1}{^{5}log 36}$.
Sehingga, $^{36}log 0.2 = - \frac{1}{^{5}log 36}$.

Dan $^{5}log 36 = ^{5}log (6^2) = 2 \times ^{5}log 6 = 2 \times (^{5}log 2 + ^{5}log 3)$.

Maka, $^{36}log 0.2 = - \frac{1}{2(^{5}log 2 + ^{5}log 3)}$.

Sekarang lihat pembilang:
$(^{2}log 5 + ^{3}log 5) \times (-\frac{1}{2(^{5}log 2 + ^{5}log 3)})$

Dengan menggunakan sifat $\frac{1}{^{a}log b} = ^{b}log a$, maka:
$^{2}log 5 = \frac{1}{^{5}log 2}$
$^{3}log 5 = \frac{1}{^{5}log 3}$

Jadi, $^{2}log 5 + ^{3}log 5 = \frac{1}{^{5}log 2} + \frac{1}{^{5}log 3} = \frac{^{5}log 3 + ^{5}log 2}{^{5}log 2 \times ^{5}log 3} = \frac{^{5}log 6}{^{5}log 2 \times ^{5}log 3}$.

Pembilang menjadi:
$(\frac{^{5}log 6}{^{5}log 2 \times ^{5}log 3}) \times (-\frac{1}{2(^{5}log 2 + ^{5}log 3)})$

Karena $^{5}log 6 = ^{5}log (2 \times 3) = ^{5}log 2 + ^{5}log 3$, maka:
$(\frac{^{5}log 2 + ^{5}log 3}{^{5}log 2 \times ^{5}log 3}) \times (-\frac{1}{2(^{5}log 2 + ^{5}log 3)})$

Ini menyederhanakan menjadi:
$-\frac{1}{2(^{5}log 2 \times ^{5}log 3)}$

Sekarang kita lihat penyebut soal asli:
$^{2}log 5 \times ^{3}log 5$

Menggunakan sifat $\frac{1}{^{a}log b} = ^{b}log a$:
$\, \frac{1}{^{5}log 2} \times \frac{1}{^{5}log 3} = \frac{1}{^{5}log 2 \times ^{5}log 3}$

Jadi, keseluruhan ekspresi menjadi:

$\, \frac{-\frac{1}{2(^{5}log 2 \times ^{5}log 3)}}{\frac{1}{^{5}log 2 \times ^{5}log 3}}$

Ini sama dengan:
$-\frac{1}{2(^{5}log 2 \times ^{5}log 3)} \times (^{5}log 2 \times ^{5}log 3)$

Yang menyederhanakan menjadi $-\frac{1}{2}$.

Jadi, bentuk logaritma tersebut disederhanakan menjadi -1/2.