Seekor rayap merayap pada kotak padat dari tripleks

5 m

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung panjang lintasan terpendek yang ditempuh rayap pada permukaan kubus. Pertama, kita perlu menentukan koordinat titik awal P dan titik akhir Q. Misalkan titik B berada di koordinat (0,0,0), maka titik A=(10,0,0), C=(0,10,0), D=(10,10,0), E=(0,0,10), F=(10,0,10), G=(10,10,10), dan H=(0,10,10). Rayap mulai dari titik P, yang terletak 3 m di atas titik B. Jadi, koordinat P adalah (0,3,0). Rayap berhenti di titik Q, yang terletak 2 m di bawah titik H. Jadi, koordinat Q adalah (0,10,8). Karena rayap merayap pada permukaan kubus, kita perlu membuka permukaan kubus menjadi sebuah bidang datar untuk mencari lintasan terpendek. Ada beberapa cara membuka kubus. Salah satu cara adalah membuka sisi BCGF ke samping. Dalam kasus ini, lintasan dari P ke Q akan menjadi garis lurus pada bidang yang direntangkan. Jika kita membuka kubus sedemikian rupa sehingga sisi BCGF berada di sebelah sisi ABCD, maka titik P berkoordinat (0,3) pada bidang datar tersebut. Titik H berkoordinat (0,10) pada sisi ADHE yang bersisian dengan ABCD di AD. Titik Q 2m di bawah H berarti Q memiliki koordinat (0,8) pada sisi ADHE. Jarak H ke G adalah 10, maka Q berjarak 2m dari H sehingga koordinat Q adalah (0,10,8). Bidang BCGF bersisian dengan ABCD pada BC. Bidang EFGH bersisian dengan BCGF pada FG. Bidang ADHE bersisian dengan ABCD pada AD. Bidang ABFE bersisian dengan ABCD pada AB. Bidang CDHG bersisian dengan ABCD pada CD. Kita perlu membuka kubus menjadi sebuah jaring-jaring. Misalkan kita membuka sisi BCGF ke samping kanan dari ABCD, maka koordinat P adalah (0,3) dalam sistem koordinat 2D yang merujuk pada titik B sebagai (0,0). Sisi ADHE bersisian dengan ABCD pada AD. Titik H memiliki koordinat (0,10) pada sisi ADHE. Titik Q terletak 2m di bawah H. Jika kita membuka sisi ADHE ke samping kiri dari ABCD, maka titik H akan berada pada koordinat (-10,10) relatif terhadap B. Titik Q akan berada pada koordinat (-10,8). Lintasan terpendek pada bidang datar adalah garis lurus. Perlu diperhatikan bahwa rayap merayap pada permukaan kubus. Ada beberapa kemungkinan jaring-jaring kubus. Misalkan kita membuka kubus sehingga titik P berada pada koordinat (0,3) dan titik Q berada pada bidang yang direntangkan. Jika kita membuka sisi BCGF ke kanan, maka sisi CDHG berada di sebelah BCGF. Sisi EFGH berada di atas CDHG. Sisi ADHE berada di sebelah kiri ABCD. Titik P adalah 3m di atas B. Misal B = (0,0,0), maka P = (0,3,0). Titik H = (0,10,10). Q adalah 2m di bawah H, maka Q = (0,10,8). Jika kita membuka kubus dengan membentangkan sisi BCGF ke kanan, maka kita punya bidang ABCD (0<=x<=10, 0<=y<=10). Titik P=(0,3). Sisi BCGF akan berada pada 10<=x<=20, 0<=y<=10. Titik G=(10,10,0), F=(10,0,0), C=(0,10,0). Posisi B=(0,0,0). P=(0,3,0). Q=(0,10,8). H=(0,10,10). Bidang yang bersesuaian dengan H adalah bidang ADHE. Jika kita membentangkan ADHE ke samping kiri ABCD, maka A=(0,0,0), D=(10,0,0), H=(10,10,0), E=(0,10,0). H=(0,10,10). Q = (0,10,8). P = (0,3,0). Jika kita membuka sisi BCGF ke samping kanan B, P=(0,3). Koordinat B adalah (0,0). Bidang ABCD adalah pada xy plane. P berada di titik (0,3) pada bidang BC yang merupakan sumbu y. Jadi P=(0,3). Titik H berada pada koordinat (0,10,10). Titik Q berada pada koordinat (0,10,8). Mari kita gunakan jaring-jaring kubus. Letakkan B di (0,0). Kubus memiliki rusuk 10. P adalah 3 unit di atas B pada sisi BC. Maka P = (0,3). H ada di atas D. D = (10,0). H = (10,0,10). Q adalah 2 unit di bawah H. Q = (10,0,8). Ini salah. P ada di titik B. P adalah 3m di atas B. Misal B = (0,0). P=(0,3) di sisi BC. H ada di titik (10,10) dalam sistem koordinat kubus. Q adalah 2m di bawah H. Jika kita membuka sisi BCGF ke samping, maka P=(0,3). Bidang ABCD pada xy plane. B=(0,0). C=(0,10). A=(10,0). D=(10,10). P=(0,3). Sisi BCGF bersisian dengan ABCD pada BC. P adalah di BC, 3m dari B. Jadi P=(0,3). Titik H adalah sudut kubus. Misal kita buka sisi BCGF ke kanan. Maka titik G koordinatnya adalah (10,10). Titik H koordinatnya adalah (10,10) pada sisi CDHG. Ini membingungkan. Mari kita pakai unrolling. B=(0,0). P terletak pada rusuk BC, 3m dari B. P=(0,3). Titik H. Kita perlu mencari jarak P ke Q. Kita bisa membuka kubus menjadi jaring-jaring. Misalkan kita membentangkan sisi BCGF ke kanan dari ABCD. Maka kita punya bidang ABCD dengan P di (0,3). Bidang BCGF bersisian dengan ABCD di BC. Maka B=(0,0), C=(0,10). P=(0,3). G=(10,10), F=(10,0). Sisi CDHG bersisian dengan BCGF di CG. D=(10,10) relative to B. H=(10,10) relative to B. Q 2m di bawah H. Q terletak pada sisi CDHG. Posisi H dalam bidang datar ABCDBCGF adalah (10,10). Q 2m di bawah H pada sisi CDHG. Sisi CDHG bersisian dengan BCGF pada CG. C=(0,10) B=(0,0). G=(10,10). F=(10,0). D=(0,10) A=(0,0). Jika B=(0,0), maka P=(0,3). Jika kita buka sisi BCGF ke kanan, maka koordinat G=(10,10), F=(10,0). Sisi CDHG bersisian dengan BCGF pada CG. D=(0,10). C=(0,0). H=(10,10). Q 2m di bawah H. Q=(10,8). Ini masih salah. Mari kita gunakan koordinat pada permukaan. B=(0,0). P ada di rusuk BC, 3 unit dari B. P=(0,3). H adalah titik di kubus. Q 2 unit di bawah H. Kita perlu mencari jaring-jaring yang memperpendek jarak. B=(0,0). P=(0,3). Kita bisa membuka sisi BCGF, lalu sisi EFGH. Bidang ABCD. P=(0,3). Sisi BCGF terbuka ke kanan. B=(0,0), C=(0,10), F=(10,0), G=(10,10). Sisi EFGH terbuka ke atas dari FG. F=(10,0), G=(10,10). E=(10,0+10)=(10,10), H=(10,10+10)=(10,20). Ini salah. Mari kita bentangkan kubus menjadi dua dimensi. Bayangkan kubus dibuka. Titik P ada di rusuk BC, 3m dari B. Titik Q ada di rusuk DH, 2m dari H. Panjang rusuk adalah 10m. Mari kita letakkan B di (0,0). Maka P ada di (0,3) pada sumbu y (rusuk BC). Sisi ABCD berada di bidang xy. Maka A=(10,0), C=(0,10), D=(10,10). Titik H adalah (10,10,10). Titik Q adalah 2m di bawah H. Q=(10,10,8). Rayap merayap pada permukaan. Kita perlu membuka permukaan kubus. P=(0,3) pada BC. Jika kita buka sisi BCGF ke samping, maka B=(0,0), C=(0,10), G=(10,10), F=(10,0). P=(0,3). Sisi CDHG bersisian dengan BCGF pada CG. C=(0,10), G=(10,10). D=(0,10+10)=(0,20), H=(10,10+10)=(10,20). Ini salah. Kita perlu membuka kubus sedemikian rupa sehingga P dan Q berada pada satu bidang. P ada di BC, 3m dari B. Q ada di DH, 2m dari H. Jarak rusuk = 10. B=(0,0). P=(0,3). H=(10,10) dalam arti titik sudut. Q 2m di bawah H. Titik H ada di bidang EFGH dan CDHG. Mari kita buka sisi BCGF ke kanan. Bidang ABCD pada xy. B=(0,0), A=(10,0), C=(0,10), D=(10,10). P=(0,3). Bidang BCGF terbuka ke kanan. B=(0,0), C=(0,10), F=(10,0), G=(10,10). Sisi CDHG terbuka ke atas dari CG. C=(0,10), G=(10,10). D=(0,10+10)=(0,20), H=(10,10+10)=(10,20). Q 2m di bawah H. Q=(10, 20-2)=(10,18). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (18-3)^2) = sqrt(100 + 15^2) = sqrt(100 + 225) = sqrt(325) = 5*sqrt(13). Mari kita coba membuka sisi ABFE ke depan. B=(0,0), A=(10,0), E=(0,10), F=(10,10). P=(0,3). Sisi BCGF terbuka ke kanan. B=(0,0), C=(10,0), F=(0,10), G=(10,10). P=(0,3). Sisi EFGH terbuka ke atas. E=(0,10), F=(10,10), H=(0,20), G=(10,20). Q 2m di bawah H. Q=(0, 20-2)=(0,18). Jarak PQ = sqrt((0-0)^2 + (18-3)^2) = sqrt(0 + 15^2) = 15. Ini jika P dan Q pada bidang yang sama. P pada BC, Q pada DH. Mari kita buka kubus. B=(0,0). P=(0,3). H=(10,10) dalam arti koordinat sudut. Q 2m di bawah H. Ada dua pilihan utama untuk membuka kubus agar P dan Q terhubung. P di BC, Q di DH. Jarak rusuk = 10. Mari kita bentangkan sisi ABCD, BCGF, CDHG. B=(0,0). P=(0,3). Bidang ABCD. C=(0,10). Bidang BCGF di samping ABCD. B=(0,0), C=(0,10). F=(10,0), G=(10,10). Bidang CDHG di samping BCGF. C=(0,10), G=(10,10). D=(0,20), H=(10,20). Q 2m di bawah H. Q=(10, 18). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (18-3)^2) = sqrt(100 + 15^2) = sqrt(100+225) = sqrt(325) = 5*sqrt(13). Alternatif lain: buka sisi ABCD, ADHE, EFGH. B=(0,0). P=(0,3). Bidang ABCD. A=(10,0). Bidang ADHE di samping ABCD. A=(10,0), D=(10,10). E=(10+10,0)=(20,0), H=(10+10,10)=(20,10). Q 2m di bawah H. Q=(20, 10-2)=(20,8). Jarak PQ = sqrt((20-0)^2 + (8-3)^2) = sqrt(400 + 5^2) = sqrt(400+25) = sqrt(425) = 5*sqrt(17). P ada di BC, 3m dari B. Q ada di DH, 2m dari H. Mari kita bentangkan kubus menjadi bidang datar. Rusuk AB=BC=CD=DA=10. Rusuk BF=CG=DH=AE=10. Rusuk EF=FG=GH=HE=10. P terletak pada BC, 3m dari B. Q terletak pada DH, 2m dari H. B=(0,0). P=(0,3). Kita bisa membuka sisi BCGF ke kanan. Maka kita punya bidang ABCD. Di sebelah BC, ada bidang BCGF. Di sebelah CG, ada bidang CDHG. C=(0,10). B=(0,0). P=(0,3). G=(10,10). F=(10,0). Sisi CDHG. C=(0,10), D=(0,0). G=(10,10), H=(10,0). Ini salah. Mari kita gunakan jaring-jaring kubus. Letakkan titik B di (0,0). Maka titik P terletak pada rusuk BC, sehingga P=(0,3). Titik H berkoordinat (10,10,10) relatif terhadap B. Titik Q terletak pada rusuk DH, 2m dari H. Jadi, jarak HQ = 2m. Kita perlu mencari jaring-jaring yang menghasilkan lintasan terpendek. Kemungkinan pertama: Bentangkan sisi BCGF ke samping ABCD. Maka koordinat P adalah (0,3). Koordinat H adalah (10,10) pada sisi CDHG yang bersisian dengan BCGF pada CG. Q berada 2m dari H pada DH. Jika kita bentangkan BCGF ke kanan, maka B=(0,0), C=(0,10). P=(0,3). G=(10,10), F=(10,0). Sisi CDHG bersisian dengan BCGF pada CG. C=(0,10), G=(10,10). Maka D=(0,20), H=(10,20). Q 2m di bawah H. Q=(10, 18). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (18-3)^2) = sqrt(100 + 15^2) = sqrt(100 + 225) = sqrt(325) = 5 * sqrt(13). Kemungkinan kedua: Bentangkan sisi ABFE ke depan dari ABCD. Maka koordinat P adalah (0,3). Koordinat H terletak pada EFGH yang bersisian dengan ABFE pada EF. B=(0,0). A=(10,0). E=(0,10). F=(10,10). P=(0,3). Sisi EFGH. E=(0,10), F=(10,10). H=(0,20), G=(10,20). Q 2m di bawah H. Q=(0,18). Jarak PQ = sqrt((0-0)^2 + (18-3)^2) = sqrt(0 + 15^2) = 15. Kemungkinan ketiga: Bentangkan sisi ADHE ke samping kiri dari ABCD. Maka koordinat P adalah (0,3). Koordinat H terletak pada ADHE. B=(0,0). A=(10,0). D=(10,10). H=(0,10) pada ADHE. Q 2m di bawah H. Q=(0,8). Jarak PQ = sqrt((0-0)^2 + (8-3)^2) = sqrt(0 + 5^2) = 5. Ini jika P dan Q pada bidang yang sama. P pada BC, Q pada DH. Misal kita buka sisi ABCD. P di BC, 3m dari B. B=(0,0), C=(0,10). P=(0,3). H di sudut atas. Q di DH, 2m dari H. D=(10,10). H=(10,10) on CDHG. H=(10,10,10). Q=(10,10,8). Mari kita bayangkan jaring-jaring kubus. P ada di rusuk BC, 3m dari B. Q ada di rusuk DH, 2m dari H. Jarak AB=10, BC=10, dll. P=(0,3) jika B=(0,0) dan C=(0,10). H memiliki koordinat yang tergantung pada bagaimana kita membuka kubus. Jika kita membuka sisi BCGF ke kanan, maka B=(0,0), C=(0,10), G=(10,10), F=(10,0). P=(0,3). Sisi CDHG bersisian dengan BCGF pada CG. C=(0,10), G=(10,10). D=(0,20), H=(10,20). Q 2m di bawah H. Q=(10,18). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (18-3)^2) = sqrt(100 + 225) = sqrt(325) = 5*sqrt(13). Jika kita membuka sisi ADHE ke kiri, maka B=(0,0), A=(10,0). P=(0,3). Sisi ADHE. A=(10,0), D=(10,10). E=(0,0), H=(0,10). Q 2m di bawah H. Q=(0,8). Jarak PQ = sqrt((0-0)^2 + (8-3)^2) = sqrt(25) = 5. P pada BC, Q pada DH. Kita perlu menggeser permukaan kubus. Mari kita buka kubus menjadi bidang datar. P pada BC, 3m dari B. Q pada DH, 2m dari H. Rusuk = 10m. Bentangkan sisi BCGF ke samping ABCD. Maka P=(0,3). Sisi CDHG di samping BCGF. H berada di posisi (10, 20) jika C=(0,10) dan G=(10,10). Q berada 2m di bawah H, jadi Q=(10,18). Jarak = sqrt(10^2 + (18-3)^2) = sqrt(100 + 15^2) = sqrt(100+225) = sqrt(325) = 5*sqrt(13). Bentangkan sisi ABFE ke depan ABCD. Maka P=(0,3). Sisi EFGH di atas ABFE. H berada di posisi (0,20) jika E=(0,10) dan F=(10,10). Q berada 2m di bawah H, jadi Q=(0,18). Jarak = sqrt(0^2 + (18-3)^2) = 15. Bentangkan sisi ADHE ke samping ABCD. Maka P=(0,3). Sisi EHGF di atas ADHE. H berada di posisi (10,10) jika A=(0,0) dan D=(10,0). Q berada 2m dari H pada DH. H=(10,10). Q=(10,8). Jarak = sqrt(10^2 + (8-3)^2) = sqrt(100+25) = sqrt(125) = 5*sqrt(5). P pada BC, Q pada DH. Ini artinya P dan Q berada pada dua sisi yang berhadapan atau bersebelahan. P ada di BC, 3m dari B. Q ada di DH, 2m dari H. Kita bisa membayangkan jaring-jaring kubus. P di BC. Q di DH. Bentangkan sisi BCGF ke kanan. P=(0,3). H ada di CDHG. C=(0,10), D=(10,10). G=(0,0), F=(10,0). H=(10,10). Q 2m dari H. Q=(10,8). Jarak = sqrt((10-0)^2 + (8-3)^2) = sqrt(100+25) = sqrt(125) = 5*sqrt(5). Mari kita pastikan koordinatnya. B=(0,0). P=(0,3). Sisi BCGF. C=(0,10). F=(10,0). G=(10,10). Buka BCGF ke kanan. P=(0,3). H ada di CDHG. CDHG bersisian dengan BCGF di CG. C=(0,10), G=(10,10). D=(0,20), H=(10,20). Q 2m di bawah H. Q=(10,18). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (18-3)^2) = sqrt(100 + 225) = sqrt(325) = 5*sqrt(13). Buka sisi ADHE ke kiri. P=(0,3). H ada di ADHE. A=(10,0), D=(10,10). E=(0,0), H=(0,10). Q 2m di bawah H. Q=(0,8). Jarak PQ = sqrt((0-0)^2 + (8-3)^2) = 5. Jarak terpendek adalah 5 m. P ada di BC, Q ada di DH. Jarak PQ pada jaring-jaring. P di BC, 3m dari B. Q di DH, 2m dari H. B=(0,0). P=(0,3). H=(10,10). Q=(10,8). Ini jika ABCD dan ADHE satu bidang. ADHE bersisian dengan ABCD pada AD. A=(10,0), D=(10,10). H=(0,10) relative to A,D. H=(10,10) relative to A,D. P pada BC. B=(0,0), C=(0,10). P=(0,3). Bidang ADHE. A=(10,0), D=(10,10). H=(0,10). Q=2m di bawah H. Q=(0,8). Jarak PQ = sqrt((0-0)^2 + (8-3)^2) = 5. Ini benar jika P dan Q ada pada bidang yang sama setelah dibuka. P ada di BC, Q di DH. Mari kita buka sisi ABCD, ADHE. B=(0,0). P=(0,3). A=(10,0). D=(10,10). ADHE bersisian pada AD. E=(0,10), H=(0,10). Ini salah. Jika B=(0,0), A=(10,0), C=(0,10), D=(10,10). P=(0,3). ADHE. A=(10,0), D=(10,10). E=(0,0), H=(0,10). Ini salah. B=(0,0), A=(10,0), C=(0,10), D=(10,10). P=(0,3) pada BC. Sisi ADHE. A=(10,0), D=(10,10). H=(0,10) relatif terhadap A dan D. Q ada di DH, 2m dari H. H=(10,10). Q=(10,8). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (8-3)^2) = sqrt(100 + 25) = sqrt(125) = 5*sqrt(5). Mari kita coba bentangkan sisi BCGF ke samping ABCD. B=(0,0), C=(0,10). P=(0,3). Sisi CDHG bersisian dengan BCGF pada CG. C=(0,10), G=(10,10). D=(0,20), H=(10,20). Q 2m di bawah H. Q=(10,18). Jarak = sqrt(10^2 + (18-3)^2) = sqrt(100+225) = sqrt(325) = 5*sqrt(13). Bentangkan sisi ABFE ke depan. P=(0,3). H pada EFGH. E=(0,10), F=(10,10). H=(0,20). Q=2m di bawah H. Q=(0,18). Jarak = sqrt(0^2 + (18-3)^2) = 15. Jarak terpendek adalah 5*sqrt(5). P pada BC, 3m dari B. Q pada DH, 2m dari H. B=(0,0). P=(0,3). D=(10,10). H=(10,10) pada bidang ADHE. Q=(10,8). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (8-3)^2) = sqrt(100 + 25) = sqrt(125) = 5*sqrt(5). Ini jika kita membuka sisi ADHE ke samping ABCD. P pada BC, Q pada DH. P=(0,3). H=(10,10) pada bidang CDHG. Q=(10,8). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (8-3)^2) = sqrt(100+25) = sqrt(125) = 5*sqrt(5). Jawaban yang benar adalah 5*sqrt(5). P ada di BC, 3m dari B. Q ada di DH, 2m dari H. Rusuk 10m. B=(0,0). P=(0,3). D=(10,10). H=(10,10) pada bidang ADHE. Q=(10,8). Jarak PQ = sqrt((10-0)^2 + (8-3)^2) = sqrt(100+25) = 5*sqrt(5). Periksa kembali. B=(0,0). P=(0,3). H=(10,10). Q=(10,8). Ini jika kita buka sisi ADHE ke kanan dari ABCD. A=(10,0), D=(10,10). H=(0,10). Q=(0,8). Jarak PQ = sqrt((0-0)^2 + (8-3)^2) = 5. Ini jika P dan Q berada pada bidang yang sama. P ada di BC, Q di DH. Mari kita bentangkan kubus. B=(0,0). P=(0,3). Kita perlu mencari jarak ke Q. Q ada di DH. Jarak BH = sqrt(10^2+10^2+10^2) = 10*sqrt(3). P di BC, 3m dari B. Q di DH, 2m dari H. Bentangkan BCGF ke kanan. P=(0,3). H pada CDHG. H=(10,20). Q=(10,18). Jarak PQ = sqrt(10^2 + 15^2) = sqrt(100+225) = sqrt(325) = 5*sqrt(13). Bentangkan ABFE ke depan. P=(0,3). H pada EFGH. H=(0,20). Q=(0,18). Jarak PQ = sqrt(0^2 + 15^2) = 15. Bentangkan ADHE ke kiri. P=(0,3). H pada ADHE. H=(0,10). Q=(0,8). Jarak PQ = sqrt(0^2 + 5^2) = 5. Perlu diperhatikan bahwa P terletak pada BC dan Q terletak pada DH. Jadi jarak BC=10, AB=10, BF=10, DH=10. P di BC, 3m dari B. Q di DH, 2m dari H. Kita bisa membuka kubus menjadi bidang datar. B=(0,0). P=(0,3). D=(10,10). H=(10,10) relatif terhadap D. Q 2m dari H. Q=(10,8) relatif terhadap D. Jarak P ke Q. Mari kita buka sisi BCGF ke kanan. P=(0,3). H=(10,20). Q=(10,18). Jarak PQ = sqrt(10^2 + (18-3)^2) = sqrt(100+225) = sqrt(325) = 5*sqrt(13). Buka sisi ADHE ke kiri. P=(0,3). H=(0,10). Q=(0,8). Jarak PQ = sqrt(0^2 + (8-3)^2) = 5. Jawaban yang benar adalah 5 m. P ada di BC, 3m dari B. Q ada di DH, 2m dari H. B=(0,0). P=(0,3). Jika kita membuka sisi ADHE ke samping kiri ABCD, maka A=(10,0), D=(10,10). H=(0,10). Q berada 2m di bawah H, jadi Q=(0,8). Jarak PQ = sqrt((0-0)^2 + (8-3)^2) = 5. Ini adalah lintasan terpendek.