Diketahui vektor u=(3 -5 4) dan vektor v=(4 -2 2).

a. ||u|| = 5√2, ||v|| = 2√6. b. u.v = 30. c. Sudut = 30°.

Pembahasan

Berikut adalah penyelesaian untuk soal vektor tersebut:

Diketahui vektor u=(3, -5, 4) dan vektor v=(4, -2, 2).

a. Panjang vektor u dan vektor v:
Panjang vektor u (||u||) = sqrt( (3)^2 + (-5)^2 + (4)^2 )
||u|| = sqrt(9 + 25 + 16)
||u|| = sqrt(50)
||u|| = 5 * sqrt(2)

Panjang vektor v (||v||) = sqrt( (4)^2 + (-2)^2 + (2)^2 )
||v|| = sqrt(16 + 4 + 4)
||v|| = sqrt(24)
||v|| = 2 * sqrt(6)

b. Hasil kali titik (dot product) vektor u dan vektor v (u.v):
u.v = (3 * 4) + (-5 * -2) + (4 * 2)
u.v = 12 + 10 + 8
u.v = 30

c. Besar sudut (theta) antara vektor u dan vektor v:
Rumus sudut antara dua vektor adalah: cos(theta) = (u.v) / (||u|| * ||v||)
cos(theta) = 30 / (5 * sqrt(2) * 2 * sqrt(6))
cos(theta) = 30 / (10 * sqrt(12))
cos(theta) = 30 / (10 * 2 * sqrt(3))
cos(theta) = 30 / (20 * sqrt(3))
cos(theta) = 3 / (2 * sqrt(3))
Untuk menyederhanakan, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sqrt(3):
cos(theta) = (3 * sqrt(3)) / (2 * sqrt(3) * sqrt(3))
cos(theta) = (3 * sqrt(3)) / (2 * 3)
cos(theta) = (3 * sqrt(3)) / 6
cos(theta) = sqrt(3) / 2

Untuk mencari besar sudutnya, kita cari nilai theta:
theta = arccos(sqrt(3) / 2)
theta = 30 derajat

Jadi:
a. Panjang vektor u adalah 5 * sqrt(2), dan panjang vektor v adalah 2 * sqrt(6).
b. Hasil kali titik vektor u dan v adalah 30.
c. Besar sudut antara vektor u dan v adalah 30 derajat.