Segitiga ABC siku-siku di A. Titik D terletak pada garis BC

2/3 akar(5)

Pembahasan

Soal ini melibatkan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku.

Diketahui:
Segitiga ABC siku-siku di A.
AD adalah garis tinggi, sehingga sudut ADB = 90 derajat.
cos B = 2/3
BD = 4 cm

Kita perlu mencari nilai dari cos(sudut BAD) + sin(sudut CAD).

Dalam segitiga ABD yang siku-siku di D:
cos B = BD / AB
2/3 = 4 / AB
AB = 4 * (3/2) = 6 cm

Dengan teorema Pythagoras pada segitiga ABD:
AD^2 + BD^2 = AB^2
AD^2 + 4^2 = 6^2
AD^2 + 16 = 36
AD^2 = 36 - 16 = 20
AD = sqrt(20) = 2 * sqrt(5) cm

Dalam segitiga ABD:
cos(sudut BAD) = AD / AB = (2 * sqrt(5)) / 6 = sqrt(5) / 3

Dalam segitiga ABC:
cos B = AB / BC
2/3 = 6 / BC
BC = 6 * (3/2) = 9 cm

Panjang DC = BC - BD = 9 - 4 = 5 cm

Dalam segitiga ADC yang siku-siku di D:
Dalam segitiga ABC, sin C = AB / BC = 6 / 9 = 2/3
Karena segitiga ADC siku-siku di D, sin(sudut CAD) = DC / AC
Kita perlu mencari AC menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 6^2 + 9^2
AC^2 = 36 + 81 = 117
AC = sqrt(117) = sqrt(9 * 13) = 3 * sqrt(13) cm

Namun, ada cara yang lebih mudah. Perhatikan bahwa segitiga ABD dan segitiga CAD sebangun dengan segitiga CBA.

Dari kesebangunan segitiga ABD dan segitiga CBA:
cos B = BD/AB = AB/BC = AD/AC
Kita sudah punya cos B = 2/3 dan BD = 4.
Kita dapatkan AB = 6 dan BC = 9.
Kita dapatkan AD = 2*sqrt(5).

Dari kesebangunan segitiga ADC dan segitiga CBA:
cos C = AC/BC = DC/AC = AD/AB
sin C = AB/BC = AD/AC = DC/AB

Kita tahu cos B = 2/3, maka sin B = sqrt(1 - (2/3)^2) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9) = sqrt(5)/3.
Karena sudut B + sudut C = 90 derajat, maka sin C = cos B = 2/3 dan cos C = sin B = sqrt(5)/3.

Dalam segitiga ABD:
cos(sudut BAD) = AD / AB = (2*sqrt(5)) / 6 = sqrt(5)/3

Dalam segitiga ADC:
sin(sudut CAD) = DC / AC
Kita perlu mencari DC dan AC.
Dari kesebangunan segitiga ABD ~ segitiga CAD:
BD/AD = AD/DC => DC = AD^2 / BD = (2*sqrt(5))^2 / 4 = 20 / 4 = 5 cm.
AB/AC = AD/AD => AB/AC = 1 (Ini salah, tidak sebangun seperti ini).

Mari gunakan sudut saja.
Dalam segitiga ABD:
Sudut B + Sudut BAD = 90 derajat.
cos B = 2/3, maka sin B = sqrt(5)/3.
cos(sudut BAD) = sin B = sqrt(5)/3.

Dalam segitiga ABC:
Sudut B + Sudut C = 90 derajat.
cos B = 2/3.
sin C = cos B = 2/3.

Dalam segitiga ADC:
Sudut CAD + Sudut C = 90 derajat.
cos(sudut CAD) = sin C = 2/3.

Jadi, cos(sudut BAD) + sin(sudut CAD) = sqrt(5)/3 + 2/3 = (2 + sqrt(5))/3.

Mari kita cek ulang kesebangunan:
Segitiga ABC siku-siku di A.
Segitiga DBA siku-siku di D.
Segitiga DAC siku-siku di D.

Sudut ABC = Sudut DBA = B
Sudut ACB = Sudut ACD = C
Sudut BAC = 90 derajat
Sudut ADB = 90 derajat
Sudut ADC = 90 derajat

Dalam segitiga ABC, B + C = 90.
Dalam segitiga ABD, B + BAD = 90.
Maka BAD = C.
Dalam segitiga ADC, CAD + C = 90.
Maka CAD = B.

Jadi, kita perlu mencari cos(C) + sin(B).

Diketahui cos B = 2/3.
Karena B + C = 90, maka:
sin B = sqrt(1 - cos^2 B) = sqrt(1 - (2/3)^2) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9) = sqrt(5)/3.
cos C = sin B = sqrt(5)/3.
sin C = cos B = 2/3.

Jadi, cos(sudut BAD) + sin(sudut CAD) = cos(C) + sin(B) = sqrt(5)/3 + 2/3 = (2 + sqrt(5))/3.

Ini tidak sesuai dengan pilihan jawaban. Mari kita tinjau kembali soal dan pilihan.

Jika cos B = 2/3, maka AB/BC = 2/3. Misal AB = 2x, BC = 3x.
Karena BD = 4, dan cos B = BD/AB = 2/3.
AB = BD / (2/3) = 4 / (2/3) = 4 * (3/2) = 6.
Jadi AB = 6.
BC = AB / (2/3) = 6 / (2/3) = 6 * (3/2) = 9.

Dengan Pythagoras di ABC:
AC^2 = BC^2 - AB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45.
AC = sqrt(45) = 3 * sqrt(5).

Dengan Pythagoras di ABD:
AD^2 = AB^2 - BD^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20.
AD = sqrt(20) = 2 * sqrt(5).

Di segitiga ABD:
cos(sudut BAD) = AD / AB = (2 * sqrt(5)) / 6 = sqrt(5) / 3.

Di segitiga ADC:
DC = BC - BD = 9 - 4 = 5.
cos(sudut CAD) = AD / AC = (2 * sqrt(5)) / (3 * sqrt(5)) = 2/3.
sin(sudut CAD) = DC / AC = 5 / (3 * sqrt(5)) = 5 * sqrt(5) / (3 * 5) = sqrt(5) / 3.

Jadi, cos(sudut BAD) + sin(sudut CAD) = sqrt(5)/3 + sqrt(5)/3 = 2 * sqrt(5) / 3.

Jawaban yang sesuai adalah a.