Selesaikan bentuk limit berikut ini! limit x->0

Hasil limitnya adalah 2/5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit berikut: limit x->0 ((1-cos2x)/(x.tan5x))

Kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Identitas yang relevan:
1.  1 - cos(2x) = 2 * sin^2(x)
2.  Limit (sin(ax) / ax) saat x->0 adalah 1.
3.  Limit (tan(bx) / bx) saat x->0 adalah 1.

Langkah-langkah:

1.  Substitusikan identitas 1 - cos(2x) = 2 * sin^2(x) ke dalam persamaan:
    limit x->0 (2 * sin^2(x)) / (x * tan(5x))

2.  Pisahkan suku-suku agar sesuai dengan bentuk limit yang diketahui:
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * (x * x) / (x * tan(5x))]

3.  Manipulasi lebih lanjut untuk mendapatkan bentuk yang diinginkan:
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x^2 / (x * tan(5x))]

4.  Kita perlu (sin(x)/x) dan (tan(5x)/5x).
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x^2 / (x * tan(5x))]
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x / tan(5x)]

5.  Kalikan dan bagi dengan konstanta yang diperlukan:
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x * (5x / 5x) / (tan(5x))]
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x * 5x / (5x * tan(5x))]

6.  Kelompokkan kembali:
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x * 5x / (5x * tan(5x))]
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * (5x^2) / (5x * tan(5x))]

7.  Atur ulang agar lebih jelas:
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * (1 / (tan(5x)/(5x))) * (5x / 5x) * x ]
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * (x^2) / (x * tan(5x))]

    Mari kita coba cara yang lebih ringkas:
    limit x->0 (1-cos2x)/(x.tan5x)
    = limit x->0 (2 sin^2 x) / (x.tan5x)
    = limit x->0 [2 * sin(x) * sin(x)] / [x * (sin(5x)/cos(5x))]
    = limit x->0 [2 * sin(x) * sin(x) * cos(5x)] / [x * sin(5x)]

8.  Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan x^2 dan (5x)^2 untuk membuat bentuk limit sin(ax)/ax:
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * cos(5x) * (x^2 / x^2)] / [(x/x) * (sin(5x)/x)]
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * cos(5x) * x] / [sin(5x)]

    Mari kita manipulasi lagi:
    limit x->0 [2 * sin^2(x)] / [x * tan(5x)]
    = limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x * x] / [x * tan(5x)]
    = limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x] / [tan(5x)]

9.  Kita perlu (tan(5x)/5x). Kalikan dan bagi dengan 5x:
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * x * (5x/5x)] / [tan(5x)]
    limit x->0 [2 * (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * 5x^2 / 5x] / [tan(5x)]

    Ini menjadi rumit. Mari gunakan substitusi yang lebih langsung:
    limit x->0 (1-cos2x)/(x.tan5x)
    = limit x->0 (2 sin^2 x) / (x.tan5x)
    = limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x^2] / [x * tan(5x)]
    = limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x] / [tan(5x)]

10. Kita tahu limit (sin x / x) = 1 saat x->0 dan limit (tan ax / ax) = 1 saat x->0.
    Kita perlu tan(5x) di penyebut, jadi kita perlukan 5x di penyebut juga.
    limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x] / [tan(5x)]
    = limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x * (5x/5x)] / [tan(5x)]
    = limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * 5x^2 / 5x] / [tan(5x)]

    Mari kita buat lebih sederhana:
    limit x->0 (1-cos2x)/(x.tan5x)
    = limit x->0 (2 sin^2 x) / (x * (sin 5x / cos 5x))
    = limit x->0 (2 sin^2 x * cos 5x) / (x * sin 5x)

11. Bagi pembilang dan penyebut dengan x^2:
    limit x->0 [2 * (sin^2 x / x^2) * cos 5x] / [(x * sin 5x) / x^2]
    = limit x->0 [2 * (sin x / x)^2 * cos 5x] / [(sin 5x / x) / x]

    Ini masih belum tepat. Kita perlu membuat penyebutnya menjadi (5x) untuk tan(5x).
    limit x->0 (1-cos2x) / (x.tan5x)
    = limit x->0 (2 sin^2 x) / (x.tan5x)
    = limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x^2] / [x * tan(5x)]
    = limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x] / [tan(5x)]

12. Sekarang, kalikan dan bagi tan(5x) dengan 5x:
    limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x] / [(tan(5x) / 5x) * 5x]

13. Kelompokkan:
    limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x] / [(tan(5x) / 5x) * 5x]
    = limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x] / [1 * 5x]
    = limit x->0 [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x] / [5x]

14. Kita tahu (sin x / x) -> 1 saat x -> 0.
    = [2 * 1 * 1 * x] / [5x]
    = [2x] / [5x]

15. Batalkan x:
    = 2 / 5

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 2/5.