Selesaikan bentuk limit trigonometri berikut: limit x->0 (x

Limitnya adalah -1/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit trigonometri \(\lim_{x\to 0} \frac{x \tan(2x)}{\cos(4x) - 1}\), kita dapat menggunakan beberapa pendekatan, termasuk substitusi langsung, aturan L'Hôpital, atau manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri.

**1. Substitusi Langsung:**
Jika kita substitusikan x = 0 langsung ke dalam ekspresi, kita mendapatkan:
\(\frac{0 \cdot \tan(0)}{\cos(0) - 1} = \frac{0 \cdot 0}{1 - 1} = \frac{0}{0}\).
Bentuk \(\frac{0}{0}\) menunjukkan bahwa limit ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menggunakan metode lain.

**2. Menggunakan Aturan L'Hôpital:**
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), kita dapat menerapkan Aturan L'Hôpital, yang menyatakan bahwa \(\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) jika limit dari turunan ada.

Misalkan \(f(x) = x \tan(2x)\) dan \(g(x) = \cos(4x) - 1\).

Turunan dari \(f(x)\): Gunakan aturan perkalian. \(f'(x) = (1) \cdot \tan(2x) + x \cdot (\sec^2(2x) \cdot 2)\) = \(\tan(2x) + 2x \sec^2(2x)\).

Turunan dari \(g(x)\): \(g'(x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)\).

Sekarang, kita hitung limit dari \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\):
\(\lim_{x\to 0} \frac{\tan(2x) + 2x \sec^2(2x)}{-4\sin(4x)}\)

Jika kita substitusikan x = 0 lagi:
\(\frac{\tan(0) + 2(0) \sec^2(0)}{-4\sin(0)} = \frac{0 + 0 \cdot 1^2}{-4 \cdot 0} = \frac{0}{0}\).
Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu, jadi kita perlu menerapkan L'Hôpital lagi.

Turunan dari \(f'(x)\) = \(\tan(2x) + 2x \sec^2(2x)\):
\(f''(x) = \sec^2(2x) \cdot 2 + [ (2) \sec^2(2x) + 2x \cdot (2 \sec(2x) \cdot \sec(2x) \tan(2x) \cdot 2) ]\)
\(f''(x) = 2\sec^2(2x) + 2\sec^2(2x) + 8x \sec^2(2x) \tan(2x)\)
\(f''(x) = 4\sec^2(2x) + 8x \sec^2(2x) \tan(2x)\).

Turunan dari \(g'(x)\) = \(-4\sin(4x)\):
\(g''(x) = -4\cos(4x) \cdot 4 = -16\cos(4x)\).

Sekarang, kita hitung limit dari \(\frac{f''(x)}{g''(x)}\):
\(\lim_{x\to 0} \frac{4\sec^2(2x) + 8x \sec^2(2x) \tan(2x)}{-16\cos(4x)}\)

Substitusikan x = 0:
\(\frac{4\sec^2(0) + 8(0) \sec^2(0) \tan(0)}{-16\cos(0)}\) = \(\frac{4(1)^2 + 0}{-16(1)}\) = \(\frac{4}{-16}\) = \(-\frac{1}{4}\).

**3. Menggunakan Manipulasi Aljabar dan Limit Standar:**
Kita bisa menggunakan identitas \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)\), sehingga \(\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)\). Maka \(\cos(4x) - 1 = -2\sin^2(2x)\).

Limitnya menjadi:
\(\lim_{x\to 0} \frac{x \tan(2x)}{-2\sin^2(2x)}\)

Kita tahu bahwa \(\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\).

Limitnya menjadi:
\(\lim_{x\to 0} \frac{x \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}}{-2\sin^2(2x)}\) = \(\lim_{x\to 0} \frac{x \sin(2x)}{-2\sin^2(2x) \cos(2x)}\)

Sederhanakan \(\sin(2x)\):
\(\lim_{x\to 0} \frac{x}{-2\sin(2x) \cos(2x)}\)

Kita gunakan limit standar \(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1\).
Kita perlu membuat bentuk \(\frac{\sin(2x)}{2x}\) dan \(\frac{2x}{2x}\).

\(\lim_{x\to 0} \frac{x}{-2\sin(2x) \cos(2x)}\) = \(\lim_{x\to 0} \frac{1}{-2 \frac{\sin(2x)}{x} \cos(2x)}\)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan 2:
\(\lim_{x\to 0} \frac{1}{-2 \cdot 2 \frac{\sin(2x)}{2x} \cos(2x)}\) = \(\lim_{x\to 0} \frac{1}{-4 \frac{\sin(2x)}{2x} \cos(2x)}\)

Gunakan \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1\) dan \(\lim_{x\to 0} \cos(2x) = 1\).

Limitnya menjadi: \(\frac{1}{-4 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}\).

Kedua metode memberikan hasil yang sama.