Selesaikan persamaan nilai mutlak berikut ini. |3p+2|/4 =

Solusinya adalah p = (2 + 2*sqrt(7)) / 3 dan p = (2 - 2*soprt(7)) / 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak |3p+2|/4 = |1/p-2|, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan nilai mutlak, atau memecahnya menjadi kasus-kasus.

Metode 1: Menggunakan kuadrat
(|3p+2|/4)^2 = (|1/p-2|)^2
(3p+2)^2 / 16 = (1/(p-2))^2
(9p^2 + 12p + 4) / 16 = 1 / (p-2)^2
(9p^2 + 12p + 4)(p-2)^2 = 16
(9p^2 + 12p + 4)(p^2 - 4p + 4) = 16

Ini akan menghasilkan persamaan polinomial derajat 4 yang kompleks untuk diselesaikan.

Metode 2: Memecah menjadi kasus
Kita perlu mempertimbangkan nilai-nilai p yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol.
3p+2 = 0 => p = -2/3
p-2 = 0 => p = 2

Kita juga perlu membatasi p agar penyebut tidak nol, jadi p != 2.

Persamaan bisa ditulis ulang sebagai |3p+2| = (4/|p-2|).

Kasus 1: 3p+2 >= 0 dan p-2 > 0 (yaitu p >= -2/3 dan p > 2, atau p > 2)
(3p+2) = 4/(p-2)
(3p+2)(p-2) = 4
3p^2 - 6p + 2p - 4 = 4
3p^2 - 4p - 8 = 0
Menggunakan rumus kuadrat: p = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
p = [4 ± sqrt((-4)^2 - 4(3)(-8))] / 2(3)
p = [4 ± sqrt(16 + 96)] / 6
p = [4 ± sqrt(112)] / 6
p = [4 ± 4*sqrt(7)] / 6
p = (2 ± 2*sqrt(7)) / 3
Karena kita membutuhkan p > 2, kita ambil p = (2 + 2*sqrt(7)) / 3.

Kasus 2: 3p+2 < 0 dan p-2 > 0 (yaitu p < -2/3 dan p > 2 - ini tidak mungkin)

Kasus 3: 3p+2 >= 0 dan p-2 < 0 (yaitu p >= -2/3 dan p < 2, atau -2/3 <= p < 2)
(3p+2) = 4/-(p-2)
(3p+2) = -4/(p-2)
(3p+2)(p-2) = -4
3p^2 - 4p - 8 = -4
3p^2 - 4p - 4 = 0
(3p+2)(p-2) = 0
Ini memberikan p = -2/3 atau p = 2. Namun, karena p < 2, kita hanya mengambil p = -2/3. Tapi kita perlu memeriksa apakah p = -2/3 memenuhi 3p+2 >= 0, yang benar.

Kasus 4: 3p+2 < 0 dan p-2 < 0 (yaitu p < -2/3 dan p < 2, atau p < -2/3)
-(3p+2) = 4/-(p-2)
-(3p+2) = -4/(p-2)
(3p+2) = 4/(p-2)
(3p+2)(p-2) = 4
3p^2 - 4p - 8 = 0
p = (2 ± 2*sqrt(7)) / 3.
Karena kita membutuhkan p < -2/3, kita ambil p = (2 - 2*sqrt(7)) / 3.

Solusi yang valid adalah p = (2 + 2*sqrt(7)) / 3 dan p = (2 - 2*sqrt(7)) / 3.

Namun, mari kita cek kembali penyederhanaan persamaan asli:
|3p+2|/4 = |1/(p-2)|
Ini sama dengan |3p+2| = 4/|p-2|.

Kita dapat menguji nilai-nilai ini.
Jika p = -2/3:
|3(-2/3)+2|/4 = |-2+2|/4 = 0/4 = 0
|1/(-2/3 - 2)| = |1/(-8/3)| = |-3/8| = 3/8.
0 != 3/8, jadi p = -2/3 bukan solusi.

Mari kita periksa kembali langkah-langkahnya.
Persamaan |3p+2|/4 = |1/(p-2)|.
Ini dapat ditulis sebagai |3p+2| = 4/|p-2|.

Kita perlu menyelesaikan 3p+2 = 4/(p-2) ATAU 3p+2 = -4/(p-2).

Kasus A: 3p+2 = 4/(p-2)
(3p+2)(p-2) = 4
3p^2 - 6p + 2p - 4 = 4
3p^2 - 4p - 8 = 0
p = (4 ± sqrt(16 - 4(3)(-8))) / 6
p = (4 ± sqrt(16 + 96)) / 6
p = (4 ± sqrt(112)) / 6
p = (4 ± 4*sqrt(7)) / 6
p = (2 ± 2*sqrt(7)) / 3

Kasus B: 3p+2 = -4/(p-2)
(3p+2)(p-2) = -4
3p^2 - 4p - 8 = -4
3p^2 - 4p - 4 = 0
(3p+2)(p-2) = 0
p = -2/3 atau p = 2.

Kita harus mengecualikan p=2 karena penyebutnya nol.
Kita juga harus memeriksa apakah p = -2/3 memenuhi persamaan asli.
|3(-2/3)+2|/4 = | -2+2 |/4 = 0.
|1/(-2/3 - 2)| = |1/(-8/3)| = |-3/8| = 3/8.
0 != 3/8. Jadi, p = -2/3 bukan solusi.

Jadi, solusi dari persamaan nilai mutlak tersebut adalah p = (2 + 2*sqrt(7)) / 3 dan p = (2 - 2*sqrt(7)) / 3.