Selesaikan persamaan-persamaan diferensial

y = e^(-32/5 - (x^2 - 2)^5 / 5)

Pembahasan

Persamaan diferensial yang diberikan adalah dy/dx = -y * (2x) * (x^2 - 2)^4. Ini adalah persamaan diferensial yang dapat dipisahkan. Kita bisa mengelompokkan suku-suku yang melibatkan y di satu sisi dan suku-suku yang melibatkan x di sisi lain.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Pisahkan variabel: dy/y = -2x(x^2 - 2)^4 dx
2. Integralkan kedua sisi:
   ∫(1/y) dy = ∫-2x(x^2 - 2)^4 dx
   ln|y| = -∫2x(x^2 - 2)^4 dx

   Untuk menyelesaikan integral di sisi kanan, kita gunakan substitusi u = x^2 - 2. Maka, du = 2x dx.
   -∫u^4 du = - (u^5 / 5) + C
   Substitusikan kembali u = x^2 - 2:
   ln|y| = -((x^2 - 2)^5 / 5) + C

3. Selesaikan untuk y:
   y = e^(-((x^2 - 2)^5 / 5) + C)
   y = e^C * e^(-((x^2 - 2)^5 / 5))
   Kita bisa mengganti e^C dengan konstanta baru, misalnya A.
   y = A * e^(-((x^2 - 2)^5 / 5))

4. Gunakan kondisi awal y=1 di x=0:
   1 = A * e^(-((0^2 - 2)^5 / 5))
   1 = A * e^(-((-2)^5 / 5))
   1 = A * e^(-(-32 / 5))
   1 = A * e^(32/5)
   A = 1 / e^(32/5)
   A = e^(-32/5)

5. Substitusikan nilai A kembali ke persamaan umum:
   y = e^(-32/5) * e^(-((x^2 - 2)^5 / 5))
   y = e^(-32/5 - (x^2 - 2)^5 / 5)

Jadi, solusi dari persamaan diferensial tersebut dengan kondisi awal yang diberikan adalah y = e^(-32/5 - (x^2 - 2)^5 / 5).