Selesaikanlah.lim x menuju tak hingga

-3

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan limit berikut: $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x-4} - \sqrt{x+2})$.

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat mengalikan dengan bentuk sekawan dari $\sqrt{x-4} - \sqrt{x+2}$, yaitu $\sqrt{x-4} + \sqrt{x+2}$.

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x-4} - \sqrt{x+2}) 	imes \frac{\sqrt{x-4} + \sqrt{x+2}}{\sqrt{x-4} + \sqrt{x+2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \sqrt{x} \frac{(x-4) - (x+2)}{\sqrt{x-4} + \sqrt{x+2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \sqrt{x} \frac{x-4-x-2}{\sqrt{x-4} + \sqrt{x+2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \sqrt{x} \frac{-6}{\sqrt{x-4} + \sqrt{x+2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-6\sqrt{x}}{\sqrt{x-4} + \sqrt{x+2}}$

Sekarang, kita bagi pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{x}$:

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-6}{\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-6}{\sqrt{\frac{x-4}{x}} + \sqrt{\frac{x+2}{x}}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-6}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$

Ketika $x \to \infty$, maka $\frac{4}{x} \to 0$ dan $\frac{2}{x} \to 0$.

$= \frac{-6}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{1 + 0}}$

$= \frac{-6}{\sqrt{1} + \sqrt{1}}$

$= \frac{-6}{1 + 1}$

$= \frac{-6}{2}$

$= -3$.

Jadi, hasil dari $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x-4} - \sqrt{x+2})$ adalah $-3$.