Selesaikanlah persamaan berikut untuk 0<=x<2pi. 2cos

Solusi persamaan trigonometri $2\cos x \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$ dalam rentang $0 \le x < 2\pi$ adalah $x = 0, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri $2 \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$ dalam rentang $0 \le x < 2\pi$, kita akan menggunakan identitas trigonometri.

Identitas yang relevan adalah: $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.
Dalam kasus ini, $A = x$ dan $B = x + \frac{\pi}{3}$.

Maka, persamaan menjadi:
$\, \cos(x + (x + \frac{\pi}{3})) + \cos(x - (x + \frac{\pi}{3})) = 1$
$\, \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos(-\frac{\pi}{3}) = 1$

Kita tahu bahwa $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, jadi $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Persamaan menjadi:
$\, \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} = 1$
$\, \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2}$
$\, \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Sekarang, kita perlu mencari nilai dari $2x + \frac{\pi}{3}$ yang kosinusnya adalah $\frac{1}{2}$. Nilai kosinus $\frac{1}{2}$ terjadi pada sudut $\frac{\pi}{3}$ dan $\frac{5\pi}{3}$ (dalam satu putaran penuh).

Karena kita memiliki $2x$, kita perlu mempertimbangkan dua putaran penuh untuk $x$ dalam rentang $0 \le x < 2\pi$. Jadi, $0 \le 2x < 4\pi$. Akibatnya, $ \frac{\pi}{3} \le 2x + \frac{\pi}{3} < 4\pi + \frac{\pi}{3}$.

Kasus 1: $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ (putaran pertama)
$\, 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$
$\, 2x = 0$
$\, x = 0$

Kasus 2: $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ (putaran pertama)
$\, 2x = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$
$\, 2x = \frac{4\pi}{3}$
$\, x = \frac{2\pi}{3}$

Kasus 3: $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ (putaran kedua)
$\, 2x = \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$
$\, 2x = \frac{6\pi}{3}$
$\, 2x = 2\pi$
$\, x = \pi$

Kasus 4: $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{11\pi}{3}$ (putaran kedua)
$\, 2x = \frac{11\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$
$\, 2x = \frac{10\pi}{3}$
$\, x = \frac{5\pi}{3}$

Semua nilai $x$ yang ditemukan ($0, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$) berada dalam rentang $0 \le x < 2\pi$.

Jadi, solusi dari persamaan tersebut adalah $x = 0, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$.