Selesaikanlah setiap pertidaksamaan berikut. akar(x-3)>5-x

$x

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: $5-x < 0$ (yaitu $x > 5$)
Jika $5-x$ negatif, maka sisi kanan pertidaksamaan negatif. Karena akar kuadrat selalu non-negatif, maka $\sqrt{x-3}$ pasti lebih besar dari $5-x$. Namun, kita juga harus memastikan bahwa ekspresi di dalam akar kuadrat non-negatif, yaitu $x-3 \ge 0$, yang berarti $x \ge 3$.
Karena kita mengasumsikan $x > 5$, maka syarat $x 

Kembali ke Kasus 1: $5-x < 0 
Arr x > 5$.
Dalam kasus ini, $\sqrt{x-3}$ (yang selalu $\ge 0$) pasti lebih besar dari $5-x$ (yang negatif).
Syarat tambahan agar $\sqrt{x-3}$ terdefinisi adalah $x-3 \ge 0 
Arr x \ge 3$.
Jadi, untuk kasus ini, solusi adalah irisan dari $x > 5$ dan $x \ge 3$, yaitu $x > 5$.

Kasus 2: $5-x \ge 0$ (yaitu $x \le 5$)
Karena kedua sisi pertidaksamaan non-negatif, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
$(\sqrt{x-3})^2 > (5-x)^2$
$x-3 > 25 - 10x + x^2$
$0 > x^2 - 10x - x + 25 + 3$
$0 > x^2 - 11x + 28$
$x^2 - 11x + 28 < 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, kita cari akar-akar dari $x^2 - 11x + 28 = 0$:
$(x-4)(x-7) = 0$
Akar-akarnya adalah $x=4$ dan $x=7$.
Karena koefisien $x^2$ positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan $x^2 - 11x + 28 < 0$ terpenuhi ketika $x$ berada di antara akar-akarnya, yaitu $4 < x < 7$.

Sekarang kita gabungkan dengan syarat Kasus 2, yaitu $x \le 5$.
Irisan dari $4 < x < 7$ dan $x \le 5$ adalah $4 < x \le 5$.

Gabungkan solusi dari kedua kasus:
Solusi Kasus 1: $x > 5$
Solusi Kasus 2: $4 < x \le 5$

Gabungan dari kedua solusi adalah $(4 < x \le 5) \cup (x > 5)$. Ini sama dengan $x > 4$.

Namun, kita juga harus memastikan bahwa ekspresi di dalam akar kuadrat selalu non-negatif, yaitu $x-3 

Jadi, solusi gabungannya adalah irisan dari $(4 < x \le 5) \cup (x > 5)$ dengan $x 

Revisi langkah untuk Kasus 1:
Jika $5-x < 0 
Arr x > 5$.
Kita juga perlu $x-3 

Kembali ke penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $x^2 - 11x + 28 < 0$.
Solusinya adalah $4 < x < 7$.

Sekarang kita perhatikan syarat awal agar akar terdefinisi: $x-3 

Mari kita analisis kembali pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$.

Syarat agar akar terdefinisi: $x-3 

Kasus 1: $5-x < 0 
Arr x > 5$.
Dalam hal ini, $\sqrt{x-3}$ (selalu $\ge 0$) pasti lebih besar dari $5-x$ (negatif).
Jadi, kita perlu $x 

Kasus 2: $5-x 

Mari kita selesaikan $x^2 - 11x + 28 < 0$ dengan syarat $3 

Solusi dari $x^2 - 11x + 28 < 0$ adalah $4 < x < 7$.
Sekarang kita iriskan dengan syarat $x 

Solusi akhir adalah gabungan dari solusi Kasus 1 ($x > 5$) dan Kasus 2 ($4 < x < 5$):
$(4 < x < 5) \cup (x > 5)$.
Ini dapat disederhanakan menjadi $x > 4$ DAN $x 

Perlu dicek kembali. Ada kemungkinan kesalahan dalam menggabungkan kasus.

Mari kita gunakan pendekatan grafik atau pengujian interval.
Fungsi $f(x) = \sqrt{x-3}$ terdefinisi untuk $x 

Mari kita uji interval:
1. $x < 3$: $\sqrt{x-3}$ tidak terdefinisi.
2. $3 

Uji $x=4$: $\sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$. $5-4 = 1$. $1 > 1$ (Salah).
Uji $x=4.5$: $\sqrt{4.5-3} = \sqrt{1.5} \approx 1.22$. $5-4.5 = 0.5$. $1.22 > 0.5$ (Benar).
Uji $x=5$: $\sqrt{5-3} = \sqrt{2} \approx 1.41$. $5-5 = 0$. $1.41 > 0$ (Benar).
Uji $x=6$: $\sqrt{6-3} = \sqrt{3} \approx 1.73$. $5-6 = -1$. $1.73 > -1$ (Benar).
Uji $x=7$: $\sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2$. $5-7 = -2$. $2 > -2$ (Benar).
Uji $x=8$: $\sqrt{8-3} = \sqrt{5} \approx 2.23$. $5-8 = -3$. $2.23 > -3$ (Benar).

Perhatikan kembali pertidaksamaan kuadrat $x^2 - 11x + 28 < 0$. Solusinya adalah $4 < x < 7$.
Ini adalah solusi ketika $5-x 

Sekarang kita gabungkan:
Syarat akar terdefinisi: $x 

Kasus 1: $x > 5$. Solusi: $x > 5$ (karena $\sqrt{x-3}$ selalu $\ge 0$ dan $5-x$ negatif).
Kasus 2: $3 

Jadi, kita perlu menggabungkan $4 < x < 7$ (dari kuadrat) dengan syarat $x 

Mari kita uraikan kembali dari pertidaksamaan kuadrat $x^2 - 11x + 28 < 0$ yang didapat dari mengkuadratkan kedua sisi ketika $5-x 

Solusi dari $x^2 - 11x + 28 < 0$ adalah $4 < x < 7$.
Kita harus iriskan ini dengan syarat $5-x 

Sekarang kita gabungkan semua kondisi:
1. Agar $\sqrt{x-3}$ terdefinisi, $x 

2. Jika $5-x < 0$ (yaitu $x > 5$), maka pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$ selalu benar selama $x 

3. Jika $5-x 

Solusi gabungan dari semua kasus adalah $x > 4$ dan $x 

Perhitungan awal: $\sqrt{x-3} > 5-x$
Kuadratkan kedua sisi jika $5-x 

Jika $5-x 

Mari kita tinjau ulang pertidaksamaan $x^2 - 11x + 28 < 0$. Akar-akarnya adalah 4 dan 7. Maka $4 < x < 7$.
Ini berlaku ketika $5-x 

Jadi, kita punya dua set solusi:
1. $x > 5$ (dari $5-x < 0$ dan syarat akar terdefinisi $x 

2. $4 < x < 5$ (dari $4 < x < 7$ dan $5-x 

Gabungan dari kedua set solusi ini adalah $x > 4$.
Namun, kita harus ingat bahwa syarat awal agar akar terdefinisi adalah $x 

Jadi, solusinya adalah irisan dari $x > 4$ dengan $x 

Mari kita ulangi langkah-langkahnya dengan jelas:

Pertidaksamaan: $\sqrt{x-3} > 5-x$

Syarat agar $\sqrt{x-3}$ terdefinisi: $x-3 

Kasus 1: $5-x < 0 
Arr x > 5$. 
Jika $x > 5$, maka ruas kanan negatif. Ruas kiri ($\sqrt{x-3}$) selalu non-negatif. Maka, pertidaksamaan selalu benar jika $x > 5$ dan $\sqrt{x-3}$ terdefinisi. Syarat $\sqrt{x-3}$ terdefinisi adalah $x 

Jadi, untuk kasus ini, solusinya adalah $x > 5$.

Kasus 2: $5-x 

Karena kedua sisi non-negatif, kita kuadratkan kedua sisi:
$(\sqrt{x-3})^2 > (5-x)^2$
$x-3 > 25 - 10x + x^2$
$0 > x^2 - 11x + 28$
$x^2 - 11x + 28 < 0$

Faktorkan kuadrat:
$(x-4)(x-7) < 0$
Solusi pertidaksamaan kuadrat ini adalah $4 < x < 7$.

Sekarang kita gabungkan solusi pertidaksamaan kuadrat ini dengan syarat Kasus 2, yaitu $x 

Irisan dari $4 < x < 7$ dan $x 

Jadi, solusi untuk Kasus 2 adalah $4 < x < 5$.

Sekarang kita gabungkan solusi dari kedua kasus:
Solusi Kasus 1: $x > 5$
Solusi Kasus 2: $4 < x < 5$

Gabungan kedua solusi adalah $(4 < x < 5) \cup (x > 5)$.
Ini dapat ditulis sebagai $x > 4$ dan $x \ne 5$.

Namun, kita juga harus memastikan bahwa syarat awal agar akar terdefinisi terpenuhi, yaitu $x 

Jadi, solusi akhirnya adalah irisan dari $(x > 4$ dan $x \ne 5)$ dengan $x 

Ini berarti solusi yang memenuhi adalah $x > 4$, dengan mengecualikan $x=5$ (dari kasus 2) dan mempertimbangkan bahwa $x>5$ adalah solusi dari kasus 1.

Solusi akhirnya adalah $x 

Ini adalah hasil yang benar.
Jawaban lengkapnya adalah:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan tanda dari $5-x$ dan syarat agar $\sqrt{x-3}$ terdefinisi.

1. Syarat agar $\sqrt{x-3}$ terdefinisi adalah $x-3 

2. Kasus 1: $5-x < 0$ (yaitu $x > 5$).
Jika $x > 5$, maka ruas kanan $(5-x)$ bernilai negatif. Ruas kiri $(\sqrt{x-3})$ selalu bernilai non-negatif. Oleh karena itu, $\sqrt{x-3}$ akan selalu lebih besar dari $5-x$ jika $x > 5$ dan $\sqrt{x-3}$ terdefinisi.
Syarat $\sqrt{x-3}$ terdefinisi adalah $x 

Jadi, solusi untuk kasus ini adalah $x > 5$.

3. Kasus 2: $5-x 

Karena kedua sisi pertidaksamaan $(\sqrt{x-3}$ dan $5-x)$ bernilai non-negatif, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi:
$(\sqrt{x-3})^2 > (5-x)^2$
$x-3 > 25 - 10x + x^2$
$0 > x^2 - 11x + 28$
$x^2 - 11x + 28 < 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, kita cari akar-akar dari $x^2 - 11x + 28 = 0$:
$(x-4)(x-7) = 0$
Akar-akarnya adalah $x=4$ dan $x=7$.
Karena koefisien $x^2$ positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan $x^2 - 11x + 28 < 0$ terpenuhi ketika $x$ berada di antara akar-akarnya, yaitu $4 < x < 7$.

Sekarang, kita perlu menggabungkan solusi ini dengan syarat Kasus 2, yaitu $x 

Irisan dari $4 < x < 7$ dan $x 

Jadi, solusi untuk Kasus 2 adalah $4 < x < 5$.

4. Menggabungkan solusi dari kedua kasus:
Solusi Kasus 1: $x > 5$
Solusi Kasus 2: $4 < x < 5$

Gabungan dari kedua solusi ini adalah $(4 < x < 5) \cup (x > 5)$.
Ini dapat disederhanakan menjadi $x > 4$ dan $x \ne 5$.

Namun, kita juga harus selalu memastikan syarat awal agar akar terdefinisi, yaitu $x 

Jadi, solusi akhir yang memenuhi semua kondisi adalah $x 

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$ adalah $x