Selesaikanlah tiap persamaan berikut untuk 0<x<360. 3 sin^2

Solusi perkiraan adalah $32.87^\circ$, $102.17^\circ$, $212.87^\circ$, $282.17^\circ$.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri $3 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 2$ untuk $0 < x < 360^\circ$.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa menggunakan identitas trigonometri. Salah satu cara adalah dengan mengubah semua suku menjadi bentuk tan x, atau menggunakan identitas sudut ganda.

Mari kita coba ubah persamaan agar semua suku memiliki pangkat yang sama atau menggunakan identitas sudut ganda.

Kita tahu bahwa $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$. Kita bisa mengganti angka 2 di sisi kanan dengan $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$3 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$
$3 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$3 \sin^2 x - 2 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x - \cos^2 x - 2 \cos^2 x = 0$
$\sin^2 x + 4 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Sekarang, kita bisa membagi seluruh persamaan dengan $\cos^2 x$ (asumsikan $\cos x \neq 0$). Jika $\cos x = 0$, maka $x = 90^\circ$ atau $x = 270^\circ$. Jika $\cos x = 0$, persamaan menjadi $\sin^2 x = 0$, yang berarti $\sin x = 0$. Tetapi $\sin x$ dan $\cos x$ tidak bisa bernilai 0 pada saat bersamaan.

Bagi dengan $\cos^2 x$:
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x + 4 \tan x - 3 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk $\tan x$. Misalkan $y = \tan x$, maka:
$y^2 + 4y - 3 = 0$

Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai y:
$y = rac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$y = rac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$
$y = rac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2}$
$y = rac{-4 \pm \sqrt{28}}{2}$
$y = rac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2}$
$y = -2 \pm \sqrt{7}$

Jadi, kita punya dua kemungkinan nilai untuk $\tan x$:
1. $\tan x = -2 + \sqrt{7}$
2. $\tan x = -2 - \sqrt{7}$

Mari kita cari nilai x untuk masing-masing kasus dalam rentang $0 < x < 360^\circ$.

Nilai $\sqrt{7}$ kira-kira adalah 2.646.
1. $\tan x \approx -2 + 2.646 = 0.646$
   Karena $\tan x$ positif, x berada di kuadran I atau III.
   $x_1 = \arctan(0.646) \approx 32.87^\circ$
   $x_2 = 180^\circ + 32.87^\circ = 212.87^\circ$

2. $\tan x \approx -2 - 2.646 = -4.646$
   Karena $\tan x$ negatif, x berada di kuadran II atau IV.
   $x_3 = \arctan(-4.646)$
   Sudut referensi adalah $\arctan(4.646) \approx 77.83^\circ$
   $x_3 = 180^\circ - 77.83^\circ = 102.17^\circ$
   $x_4 = 360^\circ - 77.83^\circ = 282.17^\circ$

Jadi, solusi untuk persamaan $3 \sin^2 x + 4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 2$ dalam rentang $0 < x < 360^\circ$ adalah kira-kira $32.87^\circ$, $102.17^\circ$, $212.87^\circ$, dan $282.17^\circ$.