Selesikanah bentuk integral berikut dengan metode

Hasil integralnya adalah $\frac{2}{9} (x^3+1)^{3/2} + C$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int x^2 \sqrt{x^3+1} dx$ dengan metode substitusi, kita dapat memilih substitusi sebagai berikut:

Misalkan $u = x^3+1$.
Maka, turunan dari u terhadap x adalah $\frac{du}{dx} = 3x^2$.
Dengan demikian, $du = 3x^2 dx$, atau $x^2 dx = \frac{1}{3} du$.

Sekarang kita substitusikan u dan $x^2 dx$ ke dalam integral awal:
$\int \sqrt{x^3+1} (x^2 dx) = \int \sqrt{u} (\frac{1}{3} du)$

Keluarkan konstanta $\frac{1}{3}$ dari integral:
$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} du$

Integral dari $\sqrt{u}$ (atau $u^{1/2}$) adalah $\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$.

Jadi, integralnya adalah:
$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{9} u^{3/2} + C$

Substitusikan kembali $u = x^3+1$:
$\frac{2}{9} (x^3+1)^{3/2} + C$

Jadi, hasil integral dari $x^2 \sqrt{x^3+1} dx$ adalah $\frac{2}{9} (x^3+1)^{3/2} + C$.