Semua bilangan real x yang memenuhi |x+2|+x^2<4 adalah ....

Solusinya adalah -2 < x < 1.

Pembahasan

Kita perlu mencari semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan |x+2|+x^2<4.

Kita bisa memecah masalah ini berdasarkan definisi nilai mutlak |x+2|:
Kasus 1: x+2 ≥ 0, yaitu x ≥ -2
Dalam kasus ini, |x+2| = x+2.
Pertidaksamaan menjadi: (x+2) + x^2 < 4
x^2 + x + 2 < 4
x^2 + x - 2 < 0

Untuk menyelesaikan x^2 + x - 2 < 0, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 + x - 2 = 0.
(x+2)(x-1) = 0
Akar-akarnya adalah x = -2 dan x = 1.
Karena ini adalah pertidaksamaan kuadrat dengan koefisien x^2 positif, parabola terbuka ke atas. Jadi, x^2 + x - 2 < 0 ketika nilai x berada di antara akar-akarnya.
-2 < x < 1

Karena kita berada dalam Kasus 1 di mana x ≥ -2, maka irisan dari x ≥ -2 dan -2 < x < 1 adalah -2 < x < 1.

Kasus 2: x+2 < 0, yaitu x < -2
Dalam kasus ini, |x+2| = -(x+2) = -x-2.
Pertidaksamaan menjadi: (-x-2) + x^2 < 4
x^2 - x - 2 < 4
x^2 - x - 6 < 0

Untuk menyelesaikan x^2 - x - 6 < 0, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 - x - 6 = 0.
(x-3)(x+2) = 0
Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = -2.
Karena ini adalah pertidaksamaan kuadrat dengan koefisien x^2 positif, parabola terbuka ke atas. Jadi, x^2 - x - 6 < 0 ketika nilai x berada di antara akar-akarnya.
-2 < x < 3

Namun, kita berada dalam Kasus 2 di mana x < -2. Irisan dari x < -2 dan -2 < x < 3 adalah himpunan kosong (tidak ada solusi).

Jadi, solusi gabungan dari kedua kasus adalah dari Kasus 1, yaitu -2 < x < 1. Namun, mari kita periksa kembali kondisi pada kasus 1.

Periksa kembali Kasus 1: x ≥ -2. Solusinya adalah -2 < x < 1. Ini memenuhi kondisi x ≥ -2.

Periksa kembali Kasus 2: x < -2. Solusinya adalah -2 < x < 3. Irisan dengan kondisi x < -2 adalah himpunan kosong.

Sepertinya ada kesalahan dalam pemikiran saya mengenai kasus kedua. Mari kita tinjau kembali:
Untuk |x+2|+x^2<4

Kasus 1: x+2 >= 0 => x >= -2
Maka x+2+x^2 < 4
x^2+x-2 < 0
(x+2)(x-1) < 0
Ini terjadi ketika -2 < x < 1.
Karena syaratnya x >= -2, maka solusi untuk kasus ini adalah -2 < x < 1.

Kasus 2: x+2 < 0 => x < -2
Maka -(x+2)+x^2 < 4
-x-2+x^2 < 4
x^2-x-6 < 0
(x-3)(x+2) < 0
Ini terjadi ketika -2 < x < 3.
Karena syaratnya x < -2, maka tidak ada solusi dalam kasus ini karena irisan dari x < -2 dan -2 < x < 3 adalah himpunan kosong.

Mari kita periksa kembali pertidaksamaan awal dan solusi Kasus 1.
Jika x = -1, |(-1)+2|+(-1)^2 = |1|+1 = 1+1 = 2. 2 < 4. Benar.
Jika x = 0, |0+2|+(0)^2 = |2|+0 = 2. 2 < 4. Benar.
Jika x = -3, |-3+2|+(-3)^2 = |-1|+9 = 1+9 = 10. 10 < 4. Salah.

Jadi, solusi yang diperoleh dari Kasus 1 adalah -2 < x < 1.

Namun, ada interpretasi lain untuk soal nilai mutlak. Kita bisa menguji nilai x = -2 secara terpisah.
Jika x = -2, |-2+2|+(-2)^2 = |0|+4 = 0+4 = 4. 4 < 4. Salah.

Oleh karena itu, solusi yang memenuhi adalah -2 < x < 1.

Namun, jika soal dimaksudkan adalah |
x+2| + x^2 <= 4, maka x = -2 akan menjadi solusi.

Dengan format soal yang diberikan, kita harus sangat teliti.

Mari kita coba pendekatan lain dengan memindahkan konstanta:
|x+2| < 4 - x^2

Ini berarti:
-(4 - x^2) < x+2 < 4 - x^2

Kita perlu memecahnya menjadi dua pertidaksamaan:
1) x+2 < 4 - x^2
x^2 + x + 2 - 4 < 0
x^2 + x - 2 < 0
(x+2)(x-1) < 0
Ini berlaku untuk -2 < x < 1.

2) -(4 - x^2) < x+2
x^2 - 4 < x+2
x^2 - x - 4 - 2 < 0
x^2 - x - 6 < 0
(x-3)(x+2) < 0
Ini berlaku untuk -2 < x < 3.

Kita perlu mencari irisan dari kedua kondisi ini:
Irisan dari (-2 < x < 1) dan (-2 < x < 3) adalah -2 < x < 1.

Jadi, semua bilangan real x yang memenuhi |x+2|+x^2<4 adalah -2 < x < 1.