Kelas 11Kelas 12mathAljabar
Semua bilangan real x yang memenuhi |x+2|+x^2<4 adalah ....
Pertanyaan
Semua bilangan real x yang memenuhi |x+2|+x^2<4 adalah ....
Solusi
Verified
Solusinya adalah -2 < x < 1.
Pembahasan
Kita perlu mencari semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan |x+2|+x^2<4. Kita bisa memecah masalah ini berdasarkan definisi nilai mutlak |x+2|: Kasus 1: x+2 ≥ 0, yaitu x ≥ -2 Dalam kasus ini, |x+2| = x+2. Pertidaksamaan menjadi: (x+2) + x^2 < 4 x^2 + x + 2 < 4 x^2 + x - 2 < 0 Untuk menyelesaikan x^2 + x - 2 < 0, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 + x - 2 = 0. (x+2)(x-1) = 0 Akar-akarnya adalah x = -2 dan x = 1. Karena ini adalah pertidaksamaan kuadrat dengan koefisien x^2 positif, parabola terbuka ke atas. Jadi, x^2 + x - 2 < 0 ketika nilai x berada di antara akar-akarnya. -2 < x < 1 Karena kita berada dalam Kasus 1 di mana x ≥ -2, maka irisan dari x ≥ -2 dan -2 < x < 1 adalah -2 < x < 1. Kasus 2: x+2 < 0, yaitu x < -2 Dalam kasus ini, |x+2| = -(x+2) = -x-2. Pertidaksamaan menjadi: (-x-2) + x^2 < 4 x^2 - x - 2 < 4 x^2 - x - 6 < 0 Untuk menyelesaikan x^2 - x - 6 < 0, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 - x - 6 = 0. (x-3)(x+2) = 0 Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = -2. Karena ini adalah pertidaksamaan kuadrat dengan koefisien x^2 positif, parabola terbuka ke atas. Jadi, x^2 - x - 6 < 0 ketika nilai x berada di antara akar-akarnya. -2 < x < 3 Namun, kita berada dalam Kasus 2 di mana x < -2. Irisan dari x < -2 dan -2 < x < 3 adalah himpunan kosong (tidak ada solusi). Jadi, solusi gabungan dari kedua kasus adalah dari Kasus 1, yaitu -2 < x < 1. Namun, mari kita periksa kembali kondisi pada kasus 1. Periksa kembali Kasus 1: x ≥ -2. Solusinya adalah -2 < x < 1. Ini memenuhi kondisi x ≥ -2. Periksa kembali Kasus 2: x < -2. Solusinya adalah -2 < x < 3. Irisan dengan kondisi x < -2 adalah himpunan kosong. Sepertinya ada kesalahan dalam pemikiran saya mengenai kasus kedua. Mari kita tinjau kembali: Untuk |x+2|+x^2<4 Kasus 1: x+2 >= 0 => x >= -2 Maka x+2+x^2 < 4 x^2+x-2 < 0 (x+2)(x-1) < 0 Ini terjadi ketika -2 < x < 1. Karena syaratnya x >= -2, maka solusi untuk kasus ini adalah -2 < x < 1. Kasus 2: x+2 < 0 => x < -2 Maka -(x+2)+x^2 < 4 -x-2+x^2 < 4 x^2-x-6 < 0 (x-3)(x+2) < 0 Ini terjadi ketika -2 < x < 3. Karena syaratnya x < -2, maka tidak ada solusi dalam kasus ini karena irisan dari x < -2 dan -2 < x < 3 adalah himpunan kosong. Mari kita periksa kembali pertidaksamaan awal dan solusi Kasus 1. Jika x = -1, |(-1)+2|+(-1)^2 = |1|+1 = 1+1 = 2. 2 < 4. Benar. Jika x = 0, |0+2|+(0)^2 = |2|+0 = 2. 2 < 4. Benar. Jika x = -3, |-3+2|+(-3)^2 = |-1|+9 = 1+9 = 10. 10 < 4. Salah. Jadi, solusi yang diperoleh dari Kasus 1 adalah -2 < x < 1. Namun, ada interpretasi lain untuk soal nilai mutlak. Kita bisa menguji nilai x = -2 secara terpisah. Jika x = -2, |-2+2|+(-2)^2 = |0|+4 = 0+4 = 4. 4 < 4. Salah. Oleh karena itu, solusi yang memenuhi adalah -2 < x < 1. Namun, jika soal dimaksudkan adalah | x+2| + x^2 <= 4, maka x = -2 akan menjadi solusi. Dengan format soal yang diberikan, kita harus sangat teliti. Mari kita coba pendekatan lain dengan memindahkan konstanta: |x+2| < 4 - x^2 Ini berarti: -(4 - x^2) < x+2 < 4 - x^2 Kita perlu memecahnya menjadi dua pertidaksamaan: 1) x+2 < 4 - x^2 x^2 + x + 2 - 4 < 0 x^2 + x - 2 < 0 (x+2)(x-1) < 0 Ini berlaku untuk -2 < x < 1. 2) -(4 - x^2) < x+2 x^2 - 4 < x+2 x^2 - x - 4 - 2 < 0 x^2 - x - 6 < 0 (x-3)(x+2) < 0 Ini berlaku untuk -2 < x < 3. Kita perlu mencari irisan dari kedua kondisi ini: Irisan dari (-2 < x < 1) dan (-2 < x < 3) adalah -2 < x < 1. Jadi, semua bilangan real x yang memenuhi |x+2|+x^2<4 adalah -2 < x < 1.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Section: Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Apakah jawaban ini membantu?