Semua nilai x yang memenuhi { )^(sin x) log ((1)/(2) sin 2

Pilihan (C) x=(pi)/(4)+k pi, k bilangan bulat (dengan asumsi interpretasi soal yang berbeda)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma ((1/2)sin 2x)^(sin x) = 1, kita perlu mempertimbangkan dua kasus utama untuk persamaan berbentuk a^b = 1:

Kasus 1: Basis = 1
(1/2)sin 2x = 1
sin 2x = 2
Persamaan ini tidak memiliki solusi karena nilai sinus maksimum adalah 1.

Kasus 2: Eksponen = 0 dan Basis ≠ 0
sin x = 0
Ini terjadi ketika x = kπ, di mana k adalah bilangan bulat. Namun, kita harus memastikan bahwa basisnya tidak nol pada nilai x ini.
Basis = (1/2)sin(2x). Jika sin x = 0, maka x = kπ.
Jika x = kπ, maka 2x = 2kπ. Nilai sin(2kπ) = 0.
Sehingga basisnya menjadi (1/2) * 0 = 0.
Karena basisnya menjadi 0, dan 0^0 tidak terdefinisi dalam konteks ini, maka solusi dari sin x = 0 tidak valid.

Kasus 3: Basis = -1 dan Eksponen adalah bilangan bulat genap
(1/2)sin 2x = -1
sin 2x = -2
Persamaan ini tidak memiliki solusi karena nilai sinus minimum adalah -1.

Mari kita tinjau kembali persamaan soal karena pilihan jawaban yang diberikan menyiratkan adanya solusi. Kemungkinan ada kesalahan penulisan pada soal. Jika soalnya adalah:

(sin x)^(log_a ((1)/(2) sin 2 x)) = 1
atau

((1/2) sin 2x)^(sin x) = 1

Jika kita mengasumsikan soalnya adalah ((1/2)sin 2x)^(sin x) = 1, dan melihat pilihan jawabannya, mari kita coba substitusi:

Pilihan (A): x = π/4 + 2kπ
Jika x = π/4, maka sin x = sin(π/4) = 1/√2.
2x = π/2, maka sin(2x) = sin(π/2) = 1.
Basis = (1/2) * 1 = 1/2.
Persamaan menjadi: (1/2)^(1/√2) = 1. Ini salah.

Pilihan (B): x = π/2 + 2kπ
Jika x = π/2, maka sin x = sin(π/2) = 1.
2x = π, maka sin(2x) = sin(π) = 0.
Basis = (1/2) * 0 = 0.
Persamaan menjadi: 0^1 = 0. Ini salah.

Pilihan (C): x = π/4 + kπ
Jika x = π/4, hasilnya sama seperti di pilihan A, salah.
Jika x = π/4 + π = 5π/4, maka sin x = sin(5π/4) = -1/√2.
2x = 5π/2, maka sin(2x) = sin(5π/2) = sin(π/2) = 1.
Basis = (1/2) * 1 = 1/2.
Persamaan menjadi: (1/2)^(-1/√2) = 1. Ini salah.

Pilihan (D): x = π/3 + 2kπ
Jika x = π/3, maka sin x = sin(π/3) = √3/2.
2x = 2π/3, maka sin(2x) = sin(2π/3) = √3/2.
Basis = (1/2) * (√3/2) = √3/4.
Persamaan menjadi: (√3/4)^(√3/2) = 1. Ini salah.

Pilihan (E): x = π/3 + kπ
Jika x = π/3, hasilnya sama seperti di pilihan D, salah.

Kemungkinan besar terdapat kesalahan penulisan pada soal asli atau pada pilihan jawaban yang diberikan. Namun, jika kita mengasumsikan soalnya adalah \log_{(\frac{1}{2}\sin 2x)} (\sin x) = 2, maka:

\sin x = (\frac{1}{2}\sin 2x)^2
\sin x = (\frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x)^2
\sin x = (\sin x \cos x)^2
\sin x = \sin^2 x \cos^2 x

Jika \sin x \ne 0, kita bisa membagi kedua sisi dengan \sin x:
1 = \sin x \cos^2 x

Ini juga terlihat sulit untuk diselesaikan dengan pilihan yang ada.

Mari kita coba asumsi lain. Jika soalnya adalah \log_a b = c maka b = a^c. Dan jika a^b = 1, maka a=1 atau b=0 (dengan a tidak nol). 

Kembali ke soal asli: ((1/2)sin 2x)^(sin x) = 1

Jika sin x = 0, maka x = kπ. Basisnya menjadi (1/2)sin(2kπ) = 0. 0^0 tidak terdefinisi.

Jika basis = 1, maka (1/2)sin 2x = 1, sin 2x = 2, tidak ada solusi.

Jika basis = -1, maka (1/2)sin 2x = -1, sin 2x = -2, tidak ada solusi.

Mari kita pertimbangkan jika soalnya adalah \log_{\sin x} (\frac{1}{2} \sin 2x) = 2. Maka:

\frac{1}{2} \sin 2x = (\sin x)^2
\frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \sin^2 x
\sin x \cos x = \sin^2 x

Jika \sin x \ne 0:
\cos x = \sin x
1 = \tan x
x = \frac{\pi}{4} + k\pi

Ini cocok dengan pilihan (C). Namun, kita perlu memastikan basis logaritma tidak sama dengan 1 dan basis tidak boleh negatif. 
Jika x = π/4, sin x = 1/√2 (tidak sama dengan 1, tidak negatif). sin(2x) = sin(π/2) = 1. Basis log = 1/√2.
Jadi, \log_{1/√2} (1/2 * 1) = \log_{1/√2} (1/2) = 1. Tapi seharusnya sama dengan 2.

Jika x = 5π/4, sin x = -1/√2. Basis logaritma tidak boleh negatif.

Dengan demikian, berdasarkan analisis pilihan jawaban, kemungkinan besar soal yang dimaksud adalah \log_{\sin x} (\frac{1}{2} \sin 2x) = 2, dan jawaban yang benar adalah (C) x = π/4 + kπ. Namun, hasil perhitungan untuk nilai x tersebut tidak memenuhi persamaan awal jika diinterpretasikan demikian.